Theorem iseradd 9995

Description: The sum of two infinite series. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 26-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseradd.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseradd.2	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
iseradd.3	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
iseradd.4	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) + ( G ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
iseradd	|- ( ph -> ( seq M ( + , H , CC ) ` N ) = ( ( seq M ( + , F , CC ) ` N ) + ( seq M ( + , G , CC ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, G   k, M   ph, k   k, H   k, N

Proof of Theorem iseradd

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 7528	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
2	1	adantl 272	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
3		addcom 7680	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) = ( y + x ) )
4	3	adantl 272	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) = ( y + x ) )
5		addass 7533	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( x + y ) + z ) = ( x + ( y + z ) ) )
6	5	adantl 272	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( ( x + y ) + z ) = ( x + ( y + z ) ) )
7		iseradd.1	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
8		iseradd.2	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
9		iseradd.3	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
10		iseradd.4	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) + ( G ` k ) ) )
11		cnex 7527	. . 3 |- CC e. _V
12	11	a1i 9	. 2 |- ( ph -> CC e. _V )
13	2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 12	iseqcaopr 9973	1 |- ( ph -> ( seq M ( + , H , CC ) ` N ) = ( ( seq M ( + , F , CC ) ` N ) + ( seq M ( + , G , CC ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 925   = wceq 1290   e. wcel 1439   _Vcvv 2620   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   CCcc 7409   + caddc 7414   ZZ>=cuz 9080   seqcseq4 9912

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-ltadd 7522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-fz 9486  df-fzo 9615  df-iseq 9914

This theorem is referenced by:  ser3add  9996  fsumadd  10861