ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseradd Unicode version

Theorem iseradd 9792
Description: The sum of two infinite series. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 26-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iseradd.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
iseradd.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
iseradd.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  e.  CC )
iseradd.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `  k
)  +  ( G `
 k ) ) )
Assertion
Ref Expression
iseradd  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  H ,  CC ) `  N )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  N )  +  (  seq M (  +  ,  G ,  CC ) `  N )
) )
Distinct variable groups:    k, F    k, G    k, M    ph, k    k, H    k, N

Proof of Theorem iseradd
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcl 7388 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
21adantl 271 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  +  y )  e.  CC )
3 addcom 7540 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  =  ( y  +  x ) )
43adantl 271 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  +  y )  =  ( y  +  x ) )
5 addass 7393 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( x  +  y )  +  z )  =  ( x  +  ( y  +  z ) ) )
65adantl 271 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( ( x  +  y )  +  z )  =  ( x  +  ( y  +  z ) ) )
7 iseradd.1 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
8 iseradd.2 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
9 iseradd.3 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  e.  CC )
10 iseradd.4 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `  k
)  +  ( G `
 k ) ) )
11 cnex 7387 . . 3  |-  CC  e.  _V
1211a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
132, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 12iseqcaopr 9791 1  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  H ,  CC ) `  N )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ,  CC ) `  N )  +  (  seq M (  +  ,  G ,  CC ) `  N )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 922    = wceq 1287    e. wcel 1436   _Vcvv 2614   ` cfv 4972  (class class class)co 5594   CCcc 7269    + caddc 7274   ZZ>=cuz 8928    seqcseq 9754
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-addcom 7366  ax-addass 7368  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-ltadd 7382
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-iord 4160  df-on 4162  df-ilim 4163  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-recs 6005  df-frec 6091  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-inn 8335  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929  df-fz 9334  df-fzo 9458  df-iseq 9755
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator