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Theorem isummolem2a 10735
 Description: Lemma for isummo 10737. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isummo.1
isummo.2
isummolem2a.dc DECID
isummolem2a.g
isummolem2a.h
summolem2.5
summolem2.6
summolem2.7
summolem2.8
summolem2.9
Assertion
Ref Expression
isummolem2a
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)   ()   (,,)   (,,)   ()   ()   ()

Proof of Theorem isummolem2a
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isummo.1 . . 3
2 isummo.2 . . 3
3 isummolem2a.dc . . 3 DECID
4 summolem2.7 . . . 4
5 summolem2.9 . . . . . . . 8
6 1zzd 8747 . . . . . . . . . . . . 13
7 summolem2.5 . . . . . . . . . . . . . 14
87nnzd 8837 . . . . . . . . . . . . 13
96, 8fzfigd 9803 . . . . . . . . . . . 12
10 summolem2.8 . . . . . . . . . . . 12
119, 10fihasheqf1od 10163 . . . . . . . . . . 11
12 nnnn0 8650 . . . . . . . . . . . 12
13 hashfz1 10156 . . . . . . . . . . . 12
147, 12, 133syl 17 . . . . . . . . . . 11
1511, 14eqtr3d 2122 . . . . . . . . . 10
1615oveq2d 5650 . . . . . . . . 9
17 isoeq4 5565 . . . . . . . . 9
1816, 17syl 14 . . . . . . . 8
195, 18mpbid 145 . . . . . . 7
20 isof1o 5568 . . . . . . 7
2119, 20syl 14 . . . . . 6
22 f1of 5237 . . . . . 6
2321, 22syl 14 . . . . 5
24 nnuz 9023 . . . . . . 7
257, 24syl6eleq 2180 . . . . . 6
26 eluzfz2 9415 . . . . . 6
2725, 26syl 14 . . . . 5
2823, 27ffvelrnd 5419 . . . 4
294, 28sseldd 3024 . . 3
304sselda 3023 . . . . . 6
31 f1ocnvfv2 5539 . . . . . . . . 9
3221, 31sylan 277 . . . . . . . 8
33 f1ocnv 5250 . . . . . . . . . . . 12
34 f1of 5237 . . . . . . . . . . . 12
3521, 33, 343syl 17 . . . . . . . . . . 11
3635ffvelrnda 5418 . . . . . . . . . 10
37 elfzle2 9411 . . . . . . . . . 10
3836, 37syl 14 . . . . . . . . 9
3919adantr 270 . . . . . . . . . 10
40 fzssuz 9447 . . . . . . . . . . . . 13
41 uzssz 9007 . . . . . . . . . . . . . 14
42 zssre 8727 . . . . . . . . . . . . . 14
4341, 42sstri 3032 . . . . . . . . . . . . 13
4440, 43sstri 3032 . . . . . . . . . . . 12
45 ressxr 7510 . . . . . . . . . . . 12
4644, 45sstri 3032 . . . . . . . . . . 11
4746a1i 9 . . . . . . . . . 10
484adantr 270 . . . . . . . . . . . 12
49 uzssz 9007 . . . . . . . . . . . . 13
5049, 42sstri 3032 . . . . . . . . . . . 12
5148, 50syl6ss 3035 . . . . . . . . . . 11
5251, 45syl6ss 3035 . . . . . . . . . 10
5327adantr 270 . . . . . . . . . 10
54 leisorel 10207 . . . . . . . . . 10
5539, 47, 52, 36, 53, 54syl122anc 1183 . . . . . . . . 9
5638, 55mpbid 145 . . . . . . . 8
5732, 56eqbrtrrd 3859 . . . . . . 7
58 eluzelz 8997 . . . . . . . . 9
5930, 58syl 14 . . . . . . . 8
60 eluzelz 8997 . . . . . . . . . 10
6129, 60syl 14 . . . . . . . . 9
6261adantr 270 . . . . . . . 8
63 eluz 9001 . . . . . . . 8
6459, 62, 63syl2anc 403 . . . . . . 7
6557, 64mpbird 165 . . . . . 6
66 elfzuzb 9403 . . . . . 6
6730, 65, 66sylanbrc 408 . . . . 5
6867ex 113 . . . 4
6968ssrdv 3029 . . 3
701, 2, 3, 29, 69fisumcvg 10730 . 2
71 addid2 7600 . . . . 5
7271adantl 271 . . . 4
73 addid1 7599 . . . . 5
7473adantl 271 . . . 4
75 addcl 7446 . . . . 5
7675adantl 271 . . . 4
77 0cnd 7460 . . . 4
7827, 16eleqtrrd 2167 . . . 4
79 iftrue 3394 . . . . . . . . . . . 12
8079adantl 271 . . . . . . . . . . 11
8180, 2eqeltrd 2164 . . . . . . . . . 10
8281adantlr 461 . . . . . . . . 9
8382adantlr 461 . . . . . . . 8
84 iffalse 3397 . . . . . . . . . 10
85 0cn 7459 . . . . . . . . . 10
8684, 85syl6eqel 2178 . . . . . . . . 9
8786adantl 271 . . . . . . . 8
883adantlr 461 . . . . . . . . 9 DECID
89 exmiddc 782 . . . . . . . . 9 DECID
9088, 89syl 14 . . . . . . . 8
9183, 87, 90mpjaodan 747 . . . . . . 7
92 simpll 496 . . . . . . . . 9
93 simpr 108 . . . . . . . . 9
944ssneld 3025 . . . . . . . . 9
9592, 93, 94sylc 61 . . . . . . . 8
9695, 86syl 14 . . . . . . 7
97 summolem2.6 . . . . . . . . 9
98 eluzdc 9066 . . . . . . . . 9 DECID
9997, 98sylan 277 . . . . . . . 8 DECID
100 exmiddc 782 . . . . . . . 8 DECID
10199, 100syl 14 . . . . . . 7
10291, 96, 101mpjaodan 747 . . . . . 6
103102, 1fmptd 5436 . . . . 5
104 eluzelz 8997 . . . . 5
105 ffvelrn 5416 . . . . 5
106103, 104, 105syl2an 283 . . . 4
107 elnnuz 9024 . . . . . . . 8
108107biimpri 131 . . . . . . 7
109108adantl 271 . . . . . 6
110 isof1o 5568 . . . . . . . . . . . 12
111 f1of 5237 . . . . . . . . . . . 12
1125, 110, 1113syl 17 . . . . . . . . . . 11
113112ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10
114 1zzd 8747 . . . . . . . . . . . 12
11515, 8eqeltrd 2164 . . . . . . . . . . . . 13
116115ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . 12
117 eluzelz 8997 . . . . . . . . . . . . 13
118117ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . 12
119114, 116, 1183jca 1123 . . . . . . . . . . 11
120 eluzle 9000 . . . . . . . . . . . . 13
121120ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . 12
122 simpr 108 . . . . . . . . . . . . 13
12315breq2d 3849 . . . . . . . . . . . . . 14
124123ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . 13
125122, 124mpbird 165 . . . . . . . . . . . 12
126121, 125jca 300 . . . . . . . . . . 11
127 elfz2 9400 . . . . . . . . . . 11
128119, 126, 127sylanbrc 408 . . . . . . . . . 10
129113, 128ffvelrnd 5419 . . . . . . . . 9
130129iftrued 3396 . . . . . . . 8
1314ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11
13223ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . 12
13316eleq2d 2157 . . . . . . . . . . . . . 14
134133ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . 13
135128, 134mpbid 145 . . . . . . . . . . . 12
136132, 135ffvelrnd 5419 . . . . . . . . . . 11
137131, 136sseldd 3024 . . . . . . . . . 10
13849, 137sseldi 3021 . . . . . . . . 9
139102ralrimiva 2446 . . . . . . . . . 10
140139ad2antrr 472 . . . . . . . . 9
141 nfv 1466 . . . . . . . . . . . 12
142 nfcsb1v 2961 . . . . . . . . . . . 12
143 nfcv 2228 . . . . . . . . . . . 12
144141, 142, 143nfif 3415 . . . . . . . . . . 11
145144nfel1 2239 . . . . . . . . . 10
146 eleq1 2150 . . . . . . . . . . . 12
147 csbeq1a 2939 . . . . . . . . . . . 12
148146, 147ifbieq1d 3409 . . . . . . . . . . 11
149148eleq1d 2156 . . . . . . . . . 10
150145, 149rspc 2716 . . . . . . . . 9
151138, 140, 150sylc 61 . . . . . . . 8
152130, 151eqeltrrd 2165 . . . . . . 7
153 0cnd 7460 . . . . . . 7
154109nnzd 8837 . . . . . . . 8
1558adantr 270 . . . . . . . 8
156 zdcle 8793 . . . . . . . 8 DECID
157154, 155, 156syl2anc 403 . . . . . . 7 DECID
158152, 153, 157ifcldadc 3416 . . . . . 6
159 breq1 3840 . . . . . . . 8
160 fveq2 5289 . . . . . . . . 9
161160csbeq1d 2937 . . . . . . . 8
162159, 161ifbieq1d 3409 . . . . . . 7
163 isummolem2a.h . . . . . . 7
164162, 163fvmptg 5364 . . . . . 6
165109, 158, 164syl2anc 403 . . . . 5
166165, 158eqeltrd 2164 . . . 4
167 fveqeq2 5298 . . . . . 6
168 eldifi 3120 . . . . . . . . 9
169 elfzelz 9409 . . . . . . . . 9
170168, 169syl 14 . . . . . . . 8
171 eldifn 3121 . . . . . . . . . 10
172171, 84syl 14 . . . . . . . . 9
173172, 85syl6eqel 2178 . . . . . . . 8
1741fvmpt2 5370 . . . . . . . 8
175170, 173, 174syl2anc 403 . . . . . . 7
176175, 172eqtrd 2120 . . . . . 6
177167, 176vtoclga 2685 . . . . 5
178177adantl 271 . . . 4
179112ffvelrnda 5418 . . . . . 6
180179iftrued 3396 . . . . 5
1814adantr 270 . . . . . . . 8
182181, 179sseldd 3024 . . . . . . 7
183 eluzelz 8997 . . . . . . 7
184182, 183syl 14 . . . . . 6
185 simpl 107 . . . . . . . 8
186185, 184jca 300 . . . . . . 7
187 nfcv 2228 . . . . . . . 8
188 nfv 1466 . . . . . . . . 9
189 nfv 1466 . . . . . . . . . . 11
190 nfcsb1v 2961 . . . . . . . . . . 11
191189, 190, 143nfif 3415 . . . . . . . . . 10
192191nfel1 2239 . . . . . . . . 9
193188, 192nfim 1509 . . . . . . . 8
194 eleq1 2150 . . . . . . . . . 10
195194anbi2d 452 . . . . . . . . 9
196 eleq1 2150 . . . . . . . . . . 11
197 csbeq1a 2939 . . . . . . . . . . 11
198196, 197ifbieq1d 3409 . . . . . . . . . 10
199198eleq1d 2156 . . . . . . . . 9
200195, 199imbi12d 232 . . . . . . . 8
201187, 193, 200, 102vtoclgf 2677 . . . . . . 7
202179, 186, 201sylc 61 . . . . . 6
203 eleq1 2150 . . . . . . . 8
204 csbeq1 2934 . . . . . . . 8
205203, 204ifbieq1d 3409 . . . . . . 7
206 nfcv 2228 . . . . . . . . 9
207 nfv 1466 . . . . . . . . . 10
208 nfcsb1v 2961 . . . . . . . . . 10
209207, 208, 143nfif 3415 . . . . . . . . 9
210 eleq1 2150 . . . . . . . . . 10
211 csbeq1a 2939 . . . . . . . . . 10
212210, 211ifbieq1d 3409 . . . . . . . . 9
213206, 209, 212cbvmpt 3925 . . . . . . . 8
2141, 213eqtri 2108 . . . . . . 7
215205, 214fvmptg 5364 . . . . . 6
216184, 202, 215syl2anc 403 . . . . 5
217 elfznn 9437 . . . . . . . 8
218217adantl 271 . . . . . . 7
219 elfzle2 9411 . . . . . . . . . . 11
220219adantl 271 . . . . . . . . . 10
22115breq2d 3849 . . . . . . . . . . 11
222221adantr 270 . . . . . . . . . 10
223220, 222mpbid 145 . . . . . . . . 9
224223iftrued 3396 . . . . . . . 8
225180, 202eqeltrrd 2165 . . . . . . . 8
226224, 225eqeltrd 2164 . . . . . . 7
227 breq1 3840 . . . . . . . . 9
228 fveq2 5289 . . . . . . . . . 10
229228csbeq1d 2937 . . . . . . . . 9
230227, 229ifbieq1d 3409 . . . . . . . 8
231230, 163fvmptg 5364 . . . . . . 7
232218, 226, 231syl2anc 403 . . . . . 6
233232, 224eqtrd 2120 . . . . 5
234180, 216, 2333eqtr4rd 2131 . . . 4
23572, 74, 76, 77, 5, 78, 4, 106, 166, 178, 234iseqcoll 10212 . . 3
23615, 7eqeltrd 2164 . . . . 5
237236, 7jca 300 . . . 4
23816eqcomd 2093 . . . . . 6
239 f1oeq2 5229 . . . . . 6
240238, 239syl 14 . . . . 5
24110, 240mpbid 145 . . . 4
242 isummolem2a.g . . . 4
2431, 2, 237, 241, 21, 242, 163isummolem3 10734 . . 3
24415fveq2d 5293 . . 3
245235, 243, 2443eqtr2d 2126 . 2
24670, 245breqtrd 3861 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 102   wb 103   wo 664  DECID wdc 780   w3a 924   wceq 1289   wcel 1438  wral 2359  csb 2931   cdif 2994   wss 2997  cif 3389   class class class wbr 3837   cmpt 3891  ccnv 4427  wf 4998  wf1o 5001  cfv 5002   wiso 5003  (class class class)co 5634  cc 7327  cr 7328  cc0 7329  c1 7330   caddc 7332  cxr 7500   clt 7501   cle 7502  cn 8394  cn0 8643  cz 8720  cuz 8988  cfz 9393   cseq4 9816  ♯chash 10148   cli 10630 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-isom 5011  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-1o 6163  df-er 6272  df-en 6438  df-dom 6439  df-fin 6440  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fzo 9519  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-ihash 10149  df-cj 10241  df-rsqrt 10396  df-abs 10397  df-clim 10631 This theorem is referenced by:  isummolem2  10736  zisum  10738
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