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Theorem isummolem3 10734
Description: Lemma for isummo 10737. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isummo.1  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
isummo.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
isummolem3.5  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN ) )
isummolem3.6  |-  ( ph  ->  f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
isummolem3.7  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
isummolem3.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) )
isummolem3.4  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  N ,  [_ ( K `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) )
Assertion
Ref Expression
isummolem3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  G ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1
(  +  ,  H ,  CC ) `  N
) )
Distinct variable groups:    k, n, A   
n, F    k, N, n    ph, k, n    k, M, n    B, n    k, K, n    f, k, n
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    B( f, k)    F( f, k)    G( f, k, n)    H( f, k, n)    K( f)    M( f)    N( f)

Proof of Theorem isummolem3
Dummy variables  i  j  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcl 7446 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  CC  /\  j  e.  CC )  ->  ( m  +  j )  e.  CC )
21adantl 271 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  CC  /\  j  e.  CC ) )  -> 
( m  +  j )  e.  CC )
3 addcom 7598 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  CC  /\  j  e.  CC )  ->  ( m  +  j )  =  ( j  +  m ) )
43adantl 271 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  CC  /\  j  e.  CC ) )  -> 
( m  +  j )  =  ( j  +  m ) )
5 addass 7451 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  CC  /\  j  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  (
( m  +  j )  +  y )  =  ( m  +  ( j  +  y ) ) )
65adantl 271 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  CC  /\  j  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( ( m  +  j )  +  y )  =  ( m  +  ( j  +  y ) ) )
7 isummolem3.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN ) )
87simpld 110 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
9 nnuz 9023 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
108, 9syl6eleq 2180 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
11 isummolem3.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
12 f1ocnv 5250 . . . . . . 7  |-  ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  ->  `' f : A -1-1-onto-> ( 1 ... M
) )
1311, 12syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' f : A -1-1-onto-> (
1 ... M ) )
14 isummolem3.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
15 f1oco 5260 . . . . . 6  |-  ( ( `' f : A -1-1-onto-> (
1 ... M )  /\  K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )  ->  ( `' f  o.  K
) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
1613, 14, 15syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' f  o.  K ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
17 isummo.1 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
18 isummo.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1917, 18, 7, 11, 14isummolemnm 10733 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  =  M )
2019eqcomd 2093 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  =  N )
2120oveq2d 5650 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1 ... M
)  =  ( 1 ... N ) )
22 f1oeq2 5229 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... M )  =  ( 1 ... N )  ->  (
( `' f  o.  K ) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M )  <-> 
( `' f  o.  K ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) ) )
2321, 22syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( `' f  o.  K ) : ( 1 ... M
)
-1-1-onto-> ( 1 ... M
)  <->  ( `' f  o.  K ) : ( 1 ... N
)
-1-1-onto-> ( 1 ... M
) ) )
2416, 23mpbird 165 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' f  o.  K ) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
25 elnnuz 9024 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  <->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
26 simplr 497 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  ->  m  e.  NN )
27 elfzle2 9411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... M )  ->  m  <_  M )
2827adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  ->  m  <_  M )
2928iftrued 3396 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( m  <_  M ,  [_ ( f `  m
)  /  k ]_ B ,  0 )  =  [_ ( f `
 m )  / 
k ]_ B )
30 f1of 5237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... M
) --> A )
3111, 30syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  f : ( 1 ... M ) --> A )
3231ffvelrnda 5418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
f `  m )  e.  A )
3318ralrimiva 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
3433adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
35 nfcsb1v 2961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k [_ ( f `  m
)  /  k ]_ B
3635nfel1 2239 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k
[_ ( f `  m )  /  k ]_ B  e.  CC
37 csbeq1a 2939 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  m )  ->  B  =  [_ ( f `  m )  /  k ]_ B )
3837eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  m )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( f `
 m )  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
3936, 38rspc 2716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  m )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ ( f `  m
)  /  k ]_ B  e.  CC )
)
4032, 34, 39sylc 61 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  ->  [_ (
f `  m )  /  k ]_ B  e.  CC )
4140adantlr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  ->  [_ (
f `  m )  /  k ]_ B  e.  CC )
4229, 41eqeltrd 2164 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( m  <_  M ,  [_ ( f `  m
)  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
43 breq1 3840 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
n  <_  M  <->  m  <_  M ) )
44 fveq2 5289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
f `  n )  =  ( f `  m ) )
4544csbeq1d 2937 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  m )  /  k ]_ B )
4643, 45ifbieq1d 3409 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  if ( n  <_  M ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( m  <_  M ,  [_ ( f `  m
)  /  k ]_ B ,  0 ) )
47 isummolem3.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  M ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) )
4846, 47fvmptg 5364 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN  /\  if ( m  <_  M ,  [_ ( f `  m )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( G `  m
)  =  if ( m  <_  M ,  [_ ( f `  m
)  /  k ]_ B ,  0 ) )
4926, 42, 48syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  m )  =  if ( m  <_  M ,  [_ ( f `
 m )  / 
k ]_ B ,  0 ) )
5049, 42eqeltrd 2164 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  m )  e.  CC )
51 simplr 497 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  m  e.  NN )
528ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  M  e.  NN )
5352nnzd 8837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
54 eluzp1l 9012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  ->  M  <  m )
5553, 54sylancom 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  M  <  m )
5651nnzd 8837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
57 zltnle 8766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( M  <  m  <->  -.  m  <_  M )
)
5853, 56, 57syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M  <  m  <->  -.  m  <_  M ) )
5955, 58mpbid 145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  -.  m  <_  M )
6059iffalsed 3399 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  if (
m  <_  M ,  [_ ( f `  m
)  /  k ]_ B ,  0 )  =  0 )
61 0cn 7459 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
6260, 61syl6eqel 2178 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  if (
m  <_  M ,  [_ ( f `  m
)  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
6351, 62, 48syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( G `  m )  =  if ( m  <_  M ,  [_ ( f `  m )  /  k ]_ B ,  0 ) )
6463, 62eqeltrd 2164 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( G `  m )  e.  CC )
65 nnsplit 9513 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  NN  =  ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
668, 65syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  NN  =  ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
6766eleq2d 2157 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  <->  m  e.  ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
6867biimpa 290 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) ) )
69 elun 3139 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( ( 1 ... M )  u.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  <->  ( m  e.  ( 1 ... M
)  \/  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
7068, 69sylib 120 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  e.  ( 1 ... M )  \/  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
7150, 64, 70mpjaodan 747 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( G `
 m )  e.  CC )
7225, 71sylan2br 282 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( G `  m )  e.  CC )
7319oveq2d 5650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  =  ( 1 ... M ) )
7473eleq2d 2157 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( m  e.  ( 1 ... N )  <-> 
m  e.  ( 1 ... M ) ) )
7574adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  e.  ( 1 ... N )  <->  m  e.  ( 1 ... M
) ) )
7675pm5.32i 442 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... N
) )  <->  ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... M ) ) )
77 simplr 497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... N
) )  ->  m  e.  NN )
78 elfzle2 9411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1 ... N )  ->  m  <_  N )
7978adantl 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... N
) )  ->  m  <_  N )
8079iftrued 3396 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... N
) )  ->  if ( m  <_  N ,  [_ ( K `  m
)  /  k ]_ B ,  0 )  =  [_ ( K `
 m )  / 
k ]_ B )
81 f1of 5237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  K :
( 1 ... N
) --> A )
8214, 81syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) --> A )
8382ffvelrnda 5418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( K `  m )  e.  A )
8433adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... N
) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
85 nfcsb1v 2961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ ( K `  m
)  /  k ]_ B
8685nfel1 2239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k
[_ ( K `  m )  /  k ]_ B  e.  CC
87 csbeq1a 2939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( K `  m )  ->  B  =  [_ ( K `  m )  /  k ]_ B )
8887eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( K `  m )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( K `
 m )  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
8986, 88rspc 2716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K `  m )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ ( K `  m
)  /  k ]_ B  e.  CC )
)
9083, 84, 89sylc 61 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 1 ... N
) )  ->  [_ ( K `  m )  /  k ]_ B  e.  CC )
9190adantlr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... N
) )  ->  [_ ( K `  m )  /  k ]_ B  e.  CC )
9280, 91eqeltrd 2164 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... N
) )  ->  if ( m  <_  N ,  [_ ( K `  m
)  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
93 breq1 3840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
n  <_  N  <->  m  <_  N ) )
94 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  ( K `  n )  =  ( K `  m ) )
9594csbeq1d 2937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  [_ ( K `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( K `  m )  /  k ]_ B )
9693, 95ifbieq1d 3409 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  if ( n  <_  N ,  [_ ( K `  n
)  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( m  <_  N ,  [_ ( K `  m )  /  k ]_ B ,  0 ) )
97 isummolem3.4 . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  N ,  [_ ( K `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) )
9896, 97fvmptg 5364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN  /\  if ( m  <_  N ,  [_ ( K `  m )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( H `  m
)  =  if ( m  <_  N ,  [_ ( K `  m
)  /  k ]_ B ,  0 ) )
9977, 92, 98syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( H `  m )  =  if ( m  <_  N ,  [_ ( K `
 m )  / 
k ]_ B ,  0 ) )
10099, 92eqeltrd 2164 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( H `  m )  e.  CC )
10176, 100sylbir 133 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( H `  m )  e.  CC )
10219breq2d 3849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( m  <_  N  <->  m  <_  M ) )
103102notbid 627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -.  m  <_  N 
<->  -.  m  <_  M
) )
104103ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( -.  m  <_  N  <->  -.  m  <_  M ) )
10559, 104mpbird 165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  -.  m  <_  N )
106105iffalsed 3399 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  if (
m  <_  N ,  [_ ( K `  m
)  /  k ]_ B ,  0 )  =  0 )
107106, 61syl6eqel 2178 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  if (
m  <_  N ,  [_ ( K `  m
)  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
10851, 107, 98syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( H `  m )  =  if ( m  <_  N ,  [_ ( K `  m )  /  k ]_ B ,  0 ) )
109108, 107eqeltrd 2164 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( H `  m )  e.  CC )
110101, 109, 70mpjaodan 747 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `
 m )  e.  CC )
11125, 110sylan2br 282 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( H `  m )  e.  CC )
112 f1oeq2 5229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... M )  =  ( 1 ... N )  ->  ( K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  <->  K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A ) )
11321, 112syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  <-> 
K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A ) )
11414, 113mpbird 165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
115 f1of 5237 . . . . . . . . . 10  |-  ( K : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  ->  K :
( 1 ... M
) --> A )
116114, 115syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... M ) --> A )
117 fvco3 5359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K : ( 1 ... M ) --> A  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( `' f  o.  K
) `  i )  =  ( `' f `
 ( K `  i ) ) )
118116, 117sylan 277 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( `' f  o.  K ) `  i
)  =  ( `' f `  ( K `
 i ) ) )
119118fveq2d 5293 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
f `  ( ( `' f  o.  K
) `  i )
)  =  ( f `
 ( `' f `
 ( K `  i ) ) ) )
12011adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
121116ffvelrnda 5418 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( K `  i )  e.  A )
122 f1ocnvfv2 5539 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A  /\  ( K `  i )  e.  A )  -> 
( f `  ( `' f `  ( K `  i )
) )  =  ( K `  i ) )
123120, 121, 122syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
f `  ( `' f `  ( K `  i ) ) )  =  ( K `  i ) )
124119, 123eqtr2d 2121 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( K `  i )  =  ( f `  ( ( `' f  o.  K ) `  i ) ) )
125124csbeq1d 2937 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  [_ ( K `  i )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  ( ( `' f  o.  K ) `  i ) )  / 
k ]_ B )
126 elfznn 9437 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  i  e.  NN )
127 elfzle2 9411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  ->  i  <_  M )
128127adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  i  <_  M )
12920breq2d 3849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( i  <_  M  <->  i  <_  N ) )
130129adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
i  <_  M  <->  i  <_  N ) )
131128, 130mpbid 145 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  i  <_  N )
132131iftrued 3396 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( i  <_  N ,  [_ ( K `  i )  /  k ]_ B ,  0 )  =  [_ ( K `
 i )  / 
k ]_ B )
13333adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
134 nfcsb1v 2961 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k [_ ( K `  i
)  /  k ]_ B
135134nfel1 2239 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k
[_ ( K `  i )  /  k ]_ B  e.  CC
136 csbeq1a 2939 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( K `  i )  ->  B  =  [_ ( K `  i )  /  k ]_ B )
137136eleq1d 2156 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( K `  i )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( K `
 i )  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
138135, 137rspc 2716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K `  i )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ ( K `  i
)  /  k ]_ B  e.  CC )
)
139121, 133, 138sylc 61 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  [_ ( K `  i )  /  k ]_ B  e.  CC )
140132, 139eqeltrd 2164 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( i  <_  N ,  [_ ( K `  i )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
141 breq1 3840 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  i  ->  (
n  <_  N  <->  i  <_  N ) )
142 fveq2 5289 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  i  ->  ( K `  n )  =  ( K `  i ) )
143142csbeq1d 2937 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  i  ->  [_ ( K `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( K `  i )  /  k ]_ B )
144141, 143ifbieq1d 3409 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  i  ->  if ( n  <_  N ,  [_ ( K `  n
)  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( i  <_  N ,  [_ ( K `  i )  /  k ]_ B ,  0 ) )
145144, 97fvmptg 5364 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  NN  /\  if ( i  <_  N ,  [_ ( K `  i )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( H `  i
)  =  if ( i  <_  N ,  [_ ( K `  i
)  /  k ]_ B ,  0 ) )
146126, 140, 145syl2an2 561 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( H `  i )  =  if ( i  <_  N ,  [_ ( K `
 i )  / 
k ]_ B ,  0 ) )
147146, 132eqtrd 2120 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( H `  i )  =  [_ ( K `  i )  /  k ]_ B )
148 f1of 5237 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' f  o.  K
) : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( 1 ... M )  -> 
( `' f  o.  K ) : ( 1 ... M ) --> ( 1 ... M
) )
14924, 148syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' f  o.  K ) : ( 1 ... M ) --> ( 1 ... M
) )
150149ffvelrnda 5418 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( `' f  o.  K ) `  i
)  e.  ( 1 ... M ) )
151 elfznn 9437 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' f  o.  K ) `  i
)  e.  ( 1 ... M )  -> 
( ( `' f  o.  K ) `  i )  e.  NN )
152150, 151syl 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( `' f  o.  K ) `  i
)  e.  NN )
153 elfzle2 9411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( `' f  o.  K ) `  i
)  e.  ( 1 ... M )  -> 
( ( `' f  o.  K ) `  i )  <_  M
)
154150, 153syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( `' f  o.  K ) `  i
)  <_  M )
155154iftrued 3396 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( ( ( `' f  o.  K ) `
 i )  <_  M ,  [_ ( f `
 ( ( `' f  o.  K ) `
 i ) )  /  k ]_ B ,  0 )  = 
[_ ( f `  ( ( `' f  o.  K ) `  i ) )  / 
k ]_ B )
156155, 125eqtr4d 2123 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( ( ( `' f  o.  K ) `
 i )  <_  M ,  [_ ( f `
 ( ( `' f  o.  K ) `
 i ) )  /  k ]_ B ,  0 )  = 
[_ ( K `  i )  /  k ]_ B )
157156, 139eqeltrd 2164 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  if ( ( ( `' f  o.  K ) `
 i )  <_  M ,  [_ ( f `
 ( ( `' f  o.  K ) `
 i ) )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
158 breq1 3840 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( ( `' f  o.  K ) `
 i )  -> 
( n  <_  M  <->  ( ( `' f  o.  K ) `  i
)  <_  M )
)
159 fveq2 5289 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( ( `' f  o.  K ) `
 i )  -> 
( f `  n
)  =  ( f `
 ( ( `' f  o.  K ) `
 i ) ) )
160159csbeq1d 2937 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( ( `' f  o.  K ) `
 i )  ->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B  =  [_ ( f `
 ( ( `' f  o.  K ) `
 i ) )  /  k ]_ B
)
161158, 160ifbieq1d 3409 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( ( `' f  o.  K ) `
 i )  ->  if ( n  <_  M ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( ( ( `' f  o.  K ) `  i
)  <_  M ,  [_ ( f `  (
( `' f  o.  K ) `  i
) )  /  k ]_ B ,  0 ) )
162161, 47fvmptg 5364 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( `' f  o.  K ) `  i )  e.  NN  /\  if ( ( ( `' f  o.  K
) `  i )  <_  M ,  [_ (
f `  ( ( `' f  o.  K
) `  i )
)  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( G `  (
( `' f  o.  K ) `  i
) )  =  if ( ( ( `' f  o.  K ) `
 i )  <_  M ,  [_ ( f `
 ( ( `' f  o.  K ) `
 i ) )  /  k ]_ B ,  0 ) )
163152, 157, 162syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  ( ( `' f  o.  K
) `  i )
)  =  if ( ( ( `' f  o.  K ) `  i )  <_  M ,  [_ ( f `  ( ( `' f  o.  K ) `  i ) )  / 
k ]_ B ,  0 ) )
164163, 155eqtrd 2120 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( G `  ( ( `' f  o.  K
) `  i )
)  =  [_ (
f `  ( ( `' f  o.  K
) `  i )
)  /  k ]_ B )
165125, 147, 1643eqtr4d 2130 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( H `  i )  =  ( G `  ( ( `' f  o.  K ) `  i ) ) )
1662, 4, 6, 10, 24, 72, 111, 165seq3f1o 9898 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 M )  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 M ) )
167 1zzd 8747 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
168167, 111iseqseq3 9867 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  H ,  CC )  =  seq 1
(  +  ,  H
) )
169168fveq1d 5291 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1
(  +  ,  H
) `  M )
)
170167, 72iseqseq3 9867 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  G ,  CC )  =  seq 1
(  +  ,  G
) )
171170fveq1d 5291 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  G ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1
(  +  ,  G
) `  M )
)
172166, 169, 1713eqtr4d 2130 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1
(  +  ,  G ,  CC ) `  M
) )
17320fveq2d 5293 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1
(  +  ,  H ,  CC ) `  N
) )
174172, 173eqtr3d 2122 1  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  G ,  CC ) `  M )  =  (  seq 1
(  +  ,  H ,  CC ) `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   [_csb 2931    u. cun 2995   ifcif 3389   class class class wbr 3837    |-> cmpt 3891   `'ccnv 4427    o. ccom 4432   -->wf 4998   -1-1-onto->wf1o 5001   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   CCcc 7327   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332    < clt 7501    <_ cle 7502   NNcn 8394   ZZcz 8720   ZZ>=cuz 8988   ...cfz 9393    seqcseq4 9816    seqcseq 9817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-1o 6163  df-er 6272  df-en 6438  df-dom 6439  df-fin 6440  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394  df-fzo 9519  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-ihash 10149
This theorem is referenced by:  isummolem2a  10735  isummo  10737
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