Theorem isummolemnm 11040

Description: Lemma for summodc 11044. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isummo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
isummo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
isummolem3.5	|- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN ) )
isummolem3.6	|- ( ph -> f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
isummolem3.7	|- ( ph -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )

Assertion

Ref	Expression
isummolemnm	|- ( ph -> N = M )

Distinct variable groups:   A, k   k, N   ph, k   k, M

Allowed substitution hints:   ph( f)   A( f)   B( f, k)   F( f, k)   K( f, k)   M( f)   N( f)

Proof of Theorem isummolemnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 8985	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
2		isummolem3.5	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN ) )
3	2	simprd 113	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN )
4	3	nnzd 9076	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
5	1, 4	fzfigd 10097	. . 3 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
6		isummolem3.6	. . . . 5 |- ( ph -> f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A )
7		f1ocnv 5336	. . . . 5 |- ( f : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> A -> `' f : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
8	6, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> `' f : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
9		isummolem3.7	. . . 4 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
10		f1oco 5346	. . . 4 |- ( ( `' f : A -1-1-onto-> ( 1 ... M ) /\ K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A ) -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 406	. . 3 |- ( ph -> ( `' f o. K ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... M ) )
12	5, 11	fihasheqf1od 10429	. 2 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = (♯ ` ( 1 ... M ) ) )
13		nnnn0 8888	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
14		hashfz1 10422	. . 3 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
15	3, 13, 14	3syl 17	. 2 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
16	2	simpld 111	. . 3 |- ( ph -> M e. NN )
17		nnnn0 8888	. . 3 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
18		hashfz1 10422	. . 3 |- ( M e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = M )
19	16, 17, 18	3syl 17	. 2 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... M ) ) = M )
20	12, 15, 19	3eqtr3d 2155	1 |- ( ph -> N = M )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1314   e. wcel 1463   ifcif 3440   |-> cmpt 3949   `'ccnv 4498   o. ccom 4503   -1-1-onto->wf1o 5080   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   CCcc 7545   0cc0 7547   1c1 7548   NNcn 8630   NN0cn0 8881   ZZcz 8958   ...cfz 9683  ♯chash 10414

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-1o 6267  df-er 6383  df-en 6589  df-dom 6590  df-fin 6591  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-fz 9684  df-ihash 10415

This theorem is referenced by:  summodclem3  11041