Theorem mpt2xopovel 6020

Description: Element of the value of an operation given by a maps-to rule, where the first argument is a pair and the base set of the second argument is the first component of the first argument. (Contributed by Alexander van der Vekens and Mario Carneiro, 10-Oct-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpt2xopoveq.f	|- F = ( x e. _V , y e. ( 1st ` x ) |-> { n e. ( 1st ` x ) | ph } )

Assertion

Ref	Expression
mpt2xopovel	|- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) <-> ( K e. V /\ N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) )

Distinct variable groups:   n, K, x, y   n, V, x, y   n, W, x, y   n, X, x, y   n, Y, x, y   x, N, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, n)   F( x, y, n)   N( n)

Proof of Theorem mpt2xopovel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpt2xopoveq.f	. . . 4 |- F = ( x e. _V , y e. ( 1st ` x ) |-> { n e. ( 1st ` x ) | ph } )
2	1	mpt2xopn0yelv 6018	. . 3 |- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) -> K e. V ) )
3	2	pm4.71rd 387	. 2 |- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) <-> ( K e. V /\ N e. ( <. V , W >. F K ) ) ) )
4	1	mpt2xopoveq 6019	. . . . . 6 |- ( ( ( V e. X /\ W e. Y ) /\ K e. V ) -> ( <. V , W >. F K ) = { n e. V | [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph } )
5	4	eleq2d 2158	. . . . 5 |- ( ( ( V e. X /\ W e. Y ) /\ K e. V ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) <-> N e. { n e. V | [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph } ) )
6		nfcv 2229	. . . . . . 7 |- F/_ n V
7	6	elrabsf 2878	. . . . . 6 |- ( N e. { n e. V | [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph } <-> ( N e. V /\ [. N / n ]. [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph ) )
8		sbccom 2915	. . . . . . . 8 |- ( [. N / n ]. [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph <-> [. <. V , W >. / x ]. [. N / n ]. [. K / y ]. ph )
9		sbccom 2915	. . . . . . . . 9 |- ( [. N / n ]. [. K / y ]. ph <-> [. K / y ]. [. N / n ]. ph )
10	9	sbcbii 2899	. . . . . . . 8 |- ( [. <. V , W >. / x ]. [. N / n ]. [. K / y ]. ph <-> [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph )
11	8, 10	bitri 183	. . . . . . 7 |- ( [. N / n ]. [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph <-> [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph )
12	11	anbi2i 446	. . . . . 6 |- ( ( N e. V /\ [. N / n ]. [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph ) <-> ( N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) )
13	7, 12	bitri 183	. . . . 5 |- ( N e. { n e. V | [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. ph } <-> ( N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) )
14	5, 13	syl6bb 195	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ W e. Y ) /\ K e. V ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) <-> ( N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) )
15	14	pm5.32da 441	. . 3 |- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( ( K e. V /\ N e. ( <. V , W >. F K ) ) <-> ( K e. V /\ ( N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) ) )
16		3anass 929	. . 3 |- ( ( K e. V /\ N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) <-> ( K e. V /\ ( N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) )
17	15, 16	syl6bbr 197	. 2 |- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( ( K e. V /\ N e. ( <. V , W >. F K ) ) <-> ( K e. V /\ N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) )
18	3, 17	bitrd 187	1 |- ( ( V e. X /\ W e. Y ) -> ( N e. ( <. V , W >. F K ) <-> ( K e. V /\ N e. V /\ [. <. V , W >. / x ]. [. K / y ]. [. N / n ]. ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 925   = wceq 1290   e. wcel 1439   {crab 2364   _Vcvv 2620   [.wsbc 2841   <.cop 3453   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   |-> cmpt2 5668   1stc1st 5923

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926

This theorem is referenced by: (None)