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Theorem rexrnmpt2 5760
Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rngop.1  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
ralrnmpt2.2  |-  ( z  =  C  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
rexrnmpt2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( E. z  e.  ran  F ph 
<->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ps ) )
Distinct variable groups:    y, z, A   
z, B    z, C    z, F    ps, z    x, y, z    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    ps( x, y)    A( x)    B( x, y)    C( x, y)    F( x, y)    V( x, y, z)

Proof of Theorem rexrnmpt2
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rngop.1 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
21rnmpt2 5755 . . . 4  |-  ran  F  =  { w  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  w  =  C }
32rexeqi 2567 . . 3  |-  ( E. z  e.  ran  F ph 
<->  E. z  e.  {
w  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  w  =  C } ph )
4 eqeq1 2094 . . . . 5  |-  ( w  =  z  ->  (
w  =  C  <->  z  =  C ) )
542rexbidv 2403 . . . 4  |-  ( w  =  z  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  w  =  C  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C ) )
65rexab 2777 . . 3  |-  ( E. z  e.  { w  |  E. x  e.  A  E. y  e.  B  w  =  C } ph 
<->  E. z ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph )
)
7 rexcom4 2642 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. z ( E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph )  <->  E. z E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph ) )
8 r19.41v 2523 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph ) )
98exbii 1541 . . . 4  |-  ( E. z E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph )  <->  E. z
( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph ) )
107, 9bitr2i 183 . . 3  |-  ( E. z ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph )  <->  E. x  e.  A  E. z
( E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph ) )
113, 6, 103bitri 204 . 2  |-  ( E. z  e.  ran  F ph 
<->  E. x  e.  A  E. z ( E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph ) )
12 rexcom4 2642 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  B  E. z ( z  =  C  /\  ph )  <->  E. z E. y  e.  B  ( z  =  C  /\  ph )
)
13 r19.41v 2523 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  B  ( z  =  C  /\  ph )  <->  ( E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph ) )
1413exbii 1541 . . . . . 6  |-  ( E. z E. y  e.  B  ( z  =  C  /\  ph )  <->  E. z ( E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph ) )
1512, 14bitri 182 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  B  E. z ( z  =  C  /\  ph )  <->  E. z ( E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph ) )
16 ralrnmpt2.2 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  C  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1716ceqsexgv 2746 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  V  ->  ( E. z ( z  =  C  /\  ph )  <->  ps ) )
1817ralimi 2438 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  V  ->  A. y  e.  B  ( E. z ( z  =  C  /\  ph )  <->  ps ) )
19 rexbi 2502 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  ( E. z ( z  =  C  /\  ph )  <->  ps )  ->  ( E. y  e.  B  E. z ( z  =  C  /\  ph )  <->  E. y  e.  B  ps ) )
2018, 19syl 14 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( E. y  e.  B  E. z ( z  =  C  /\  ph )  <->  E. y  e.  B  ps ) )
2115, 20syl5bbr 192 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( E. z ( E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph )  <->  E. y  e.  B  ps )
)
2221ralimi 2438 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  A. x  e.  A  ( E. z ( E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph )  <->  E. y  e.  B  ps )
)
23 rexbi 2502 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( E. z ( E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph )  <->  E. y  e.  B  ps )  ->  ( E. x  e.  A  E. z ( E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ps ) )
2422, 23syl 14 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( E. x  e.  A  E. z ( E. y  e.  B  z  =  C  /\  ph )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ps )
)
2511, 24syl5bb 190 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  C  e.  V  ->  ( E. z  e.  ran  F ph 
<->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   {cab 2074   A.wral 2359   E.wrex 2360   ran crn 4439    |-> cmpt2 5654
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-br 3846  df-opab 3900  df-cnv 4446  df-dm 4448  df-rn 4449  df-oprab 5656  df-mpt2 5657
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