Theorem rnmpt2 5769

Description: The range of an operation given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 20-Jun-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
rngop.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
rnmpt2	|- ran F = { z | E. x e. A E. y e. B z = C }

Distinct variable groups:   y, z, A   z, B   z, C   z, F   x, y, z

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, y)   C( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem rnmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngop.1	. . . 4 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2		df-mpt2 5671	. . . 4 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
3	1, 2	eqtri 2109	. . 3 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
4	3	rneqi 4676	. 2 |- ran F = ran { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
5		rnoprab2 5746	. 2 |- ran { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) } = { z | E. x e. A E. y e. B z = C }
6	4, 5	eqtri 2109	1 |- ran F = { z | E. x e. A E. y e. B z = C }

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   {cab 2075   E.wrex 2361   ran crn 4453   {coprab 5667   |-> cmpt2 5668

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-br 3852  df-opab 3906  df-cnv 4460  df-dm 4462  df-rn 4463  df-oprab 5670  df-mpt2 5671

This theorem is referenced by:  elrnmpt2g  5771  elrnmpt2  5772  ralrnmpt2  5773  rexrnmpt2  5774