Theorem fisumcvg 10820

Description: The sequence of partial sums of a finite sum converges to the whole sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.) Use fsum3cvg 10821 instead. (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
isummo.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
isummo.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
isummo.dc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
isumrb.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fisumcvg.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fisumcvg	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fisumcvg

Dummy variables 𝑛 𝑧 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2089	. 2 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = (ℤ≥‘𝑁)
2		isumrb.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		eluzelz 9082	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5		iseqex 9910	. . 3 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ V
6	5	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ V)
7		eqid 2089	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
8		eluzel2 9078	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9	2, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
10		eluzelz 9082	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
11	10	adantl 272	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12		iftrue 3402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
13	12	adantl 272	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
14		isummo.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	13, 14	eqeltrd 2165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
16	15	ex 114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
17	16	adantr 271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
18		iffalse 3405	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 0)
19		0cn 7534	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
20	18, 19	syl6eqel 2179	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
21	20	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
22		isummo.dc	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
23		exmiddc 783	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
24	22, 23	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
25	17, 21, 24	mpjaod 674	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
26		isummo.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
27	26	fvmpt2 5399	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
28	11, 25, 27	syl2anc 404	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
29	28, 25	eqeltrd 2165	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30	7, 9, 29	iserf 9957	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℂ)
31	30, 2	ffvelrnd 5449	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁) ∈ ℂ)
32		addid1 7674	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚 + 0) = 𝑚)
33	32	adantl 272	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚 + 0) = 𝑚)
34	2	adantr 271	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
35		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
36	31	adantr 271	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁) ∈ ℂ)
37		elfzuz 9490	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
38		eluzelz 9082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → 𝑚 ∈ ℤ)
39	38	adantl 272	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ ℤ)
40		fisumcvg.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
41	40	sseld 3025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝐴 → 𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)))
42		fznuz 9570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) → ¬ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
43	41, 42	syl6 33	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
44	43	con2d 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → ¬ 𝑚 ∈ 𝐴))
45	44	imp 123	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑚 ∈ 𝐴)
46	39, 45	eldifd 3010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ (ℤ ∖ 𝐴))
47		fveq2 5318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚))
48	47	eqeq1d 2097	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑘) = 0 ↔ (𝐹‘𝑚) = 0))
49		eldifi 3123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
50		eldifn 3124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)
51	50, 18	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 0)
52	51, 19	syl6eqel 2179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
53	49, 52, 27	syl2anc 404	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
54	53, 51	eqtrd 2121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) = 0)
55	48, 54	vtoclga 2686	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹‘𝑚) = 0)
56	46, 55	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝐹‘𝑚) = 0)
57	37, 56	sylan2 281	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝐹‘𝑚) = 0)
58	57	adantlr 462	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝐹‘𝑚) = 0)
59	47	eleq1d 2157	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ))
60	29	ralrimiva 2447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
61	60	ad2antrr 473	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
62		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
63	59, 61, 62	rspcdva 2728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ)
64		addcl 7521	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑚 + 𝑧) ∈ ℂ)
65	64	adantl 272	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑚 + 𝑧) ∈ ℂ)
66	33, 34, 35, 36, 58, 63, 65	iseqid2 9995	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑛))
67	66	eqcomd 2094	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑛) = (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁))
68	1, 4, 6, 31, 67	climconst 10732	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 665  DECID wdc 781   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  ∀wral 2360  Vcvv 2620   ∖ cdif 2997   ⊆ wss 3000  ifcif 3397   class class class wbr 3851   ↦ cmpt 3905  ‘cfv 5028  (class class class)co 5666  ℂcc 7402  0cc0 7404  1c1 7405   + caddc 7407  ℤcz 8804  ℤ_≥cuz 9073  ...cfz 9478  seqcseq4 9905   ⇝ cli 10720

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-mulrcl 7498  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-precex 7509  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515  ax-pre-mulgt0 7516  ax-pre-mulext 7517

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-reap 8106  df-ap 8113  df-div 8194  df-inn 8477  df-2 8535  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-rp 9189  df-fz 9479  df-iseq 9907  df-seq3 9908  df-exp 10009  df-cj 10330  df-rsqrt 10485  df-abs 10486  df-clim 10721

This theorem is referenced by:  isummolem2a  10825  fisumcvg2  10840