Theorem fisumsers 10788

Description: Special case of series sum over a finite upper integer index set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsers.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
fsumsers.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fsumsers.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumsers.dc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
fsumsers.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fisumsers	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fisumsers

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2088	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		fsumsers.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		eluzel2 9024	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		fsumsers.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
6		fzssuz 9479	. . . 4 ⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
7	5, 6	syl6ss 3037	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
8		fsumsers.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
9		fsumsers.dc	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
10	9	ralrimiva 2446	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
11		eleq1w 2148	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
12	11	dcbid 786	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (DECID 𝑘 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑗 ∈ 𝐴))
13	12	cbvralv 2590	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑘 ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
14	10, 13	sylib 120	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
15		fsumsers.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	1, 4, 7, 8, 14, 15	zisum 10774	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)))
17		fclim 10682	. . . 4 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
18		ffun 5164	. . . 4 ⊢ ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
19	17, 18	ax-mp 7	. . 3 ⊢ Fun ⇝
20	8, 2, 15, 9, 5	fisumcvg2 10786	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁))
21		funbrfv 5343	. . 3 ⊢ (Fun ⇝ → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁) → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)) = (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁)))
22	19, 20, 21	mpsyl 64	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)) = (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁))
23	16, 22	eqtrd 2120	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102  DECID wdc 780   = wceq 1289   ∈ wcel 1438  ∀wral 2359   ⊆ wss 2999  ifcif 3393   class class class wbr 3845  dom cdm 4438  Fun wfun 5009  ⟶wf 5011  ‘cfv 5015  (class class class)co 5652  ℂcc 7348  0cc0 7350   + caddc 7353  ℤcz 8750  ℤ_≥cuz 9019  ...cfz 9424  seqcseq4 9851   ⇝ cli 10666  Σcsu 10742

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463  ax-arch 7464  ax-caucvg 7465

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6292  df-en 6458  df-dom 6459  df-fin 6460  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-3 8482  df-4 8483  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-q 9105  df-rp 9135  df-fz 9425  df-fzo 9554  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955  df-ihash 10184  df-cj 10276  df-re 10277  df-im 10278  df-rsqrt 10431  df-abs 10432  df-clim 10667  df-isum 10743

This theorem is referenced by:  fisumser  10790