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Theorem iiserex 10551
 Description: An infinite series converges, if and only if the series does with initial terms removed. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iserex.2 (𝜑𝑁𝑍)
iserex.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
iiserex (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iiserex
StepHypRef Expression
1 iseqeq1 9743 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) = seq𝑀( + , 𝐹, ℂ))
21eleq1d 2151 . . . 4 (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ))
32bicomd 139 . . 3 (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ))
43a1i 9 . 2 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )))
5 simpll 496 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → 𝜑)
6 iserex.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁𝑍)
7 clim2ser.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (ℤ𝑀)
86, 7syl6eleq 2175 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
9 eluzelz 8923 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
108, 9syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1110zcnd 8765 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
12 ax-1cn 7341 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
13 npcan 7594 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
1411, 12, 13sylancl 404 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
15 iseqeq1 9743 . . . . . . . 8 (((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁 → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹, ℂ) = seq𝑁( + , 𝐹, ℂ))
1614, 15syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹, ℂ) = seq𝑁( + , 𝐹, ℂ))
175, 16syl 14 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹, ℂ) = seq𝑁( + , 𝐹, ℂ))
18 simplr 497 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
1918, 7syl6eleqr 2176 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
20 iserex.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
215, 20sylan 277 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
22 simpr 108 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )
23 climdm 10508 . . . . . . . 8 (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)))
2422, 23sylib 120 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)))
257, 19, 21, 24clim2iser 10549 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹, ℂ) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)) − (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘(𝑁 − 1))))
2617, 25eqbrtrrd 3833 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)) − (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘(𝑁 − 1))))
27 climrel 10493 . . . . . 6 Rel ⇝
2827releldmi 4632 . . . . 5 (seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)) − (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘(𝑁 − 1))) → seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )
2926, 28syl 14 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )
30 simpr 108 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
3130, 7syl6eleqr 2176 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
3231adantr 270 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → (𝑁 − 1) ∈ 𝑍)
33 simpll 496 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → 𝜑)
3433, 20sylan 277 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3533, 16syl 14 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹, ℂ) = seq𝑁( + , 𝐹, ℂ))
36 simpr 108 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )
37 climdm 10508 . . . . . . . 8 (seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹, ℂ)))
3836, 37sylib 120 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹, ℂ)))
3935, 38eqbrtrd 3831 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq((𝑁 − 1) + 1)( + , 𝐹, ℂ) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹, ℂ)))
407, 32, 34, 39clim2iser2 10550 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹, ℂ)) + (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘(𝑁 − 1))))
4127releldmi 4632 . . . . 5 (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑁( + , 𝐹, ℂ)) + (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘(𝑁 − 1))) → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )
4240, 41syl 14 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ) → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )
4329, 42impbida 561 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ))
4443ex 113 . 2 (𝜑 → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ )))
45 uzm1 8944 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
468, 45syl 14 . 2 (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
474, 44, 46mpjaod 671 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ dom ⇝ ))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ wo 662   = wceq 1285   ∈ wcel 1434   class class class wbr 3811  dom cdm 4401  ‘cfv 4969  (class class class)co 5591  ℂcc 7251  1c1 7254   + caddc 7256   − cmin 7556  ℤcz 8646  ℤ≥cuz 8914  seqcseq 9740   ⇝ cli 10491 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365  ax-pre-mulext 7366  ax-arch 7367  ax-caucvg 7368 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-iord 4157  df-on 4159  df-ilim 4160  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-frec 6088  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959  df-div 8038  df-inn 8317  df-2 8375  df-3 8376  df-4 8377  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915  df-rp 9030  df-fz 9320  df-iseq 9741  df-iexp 9792  df-cj 10103  df-re 10104  df-im 10105  df-rsqrt 10258  df-abs 10259  df-clim 10492 This theorem is referenced by: (None)
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