Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iisermulc2 GIF version

Theorem iisermulc2 10789
 Description: Multiplication of an infinite series by a constant. New proofs should use isermulc2 10790 instead. (Contributed by Paul Chapman, 14-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2iser.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iisermulc2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iisermulc2.4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
iisermulc2.5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐴)
iisermulc2.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
iisermulc2.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐶 · (𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
iisermulc2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺, ℂ) ⇝ (𝐶 · 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝐶,𝑘   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iisermulc2
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clim2iser.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 iisermulc2.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 iisermulc2.5 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐴)
4 iisermulc2.4 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5 iseqex 9917 . . 3 seq𝑀( + , 𝐺, ℂ) ∈ V
65a1i 9 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺, ℂ) ∈ V)
7 iisermulc2.6 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
81, 2, 7iserf 9964 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ):𝑍⟶ℂ)
98ffvelrnda 5448 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗) ∈ ℂ)
10 addcl 7528 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
1110adantl 272 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
124adantr 271 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐶 ∈ ℂ)
13 adddi 7535 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐶 · (𝑘 + 𝑥)) = ((𝐶 · 𝑘) + (𝐶 · 𝑥)))
14133expb 1145 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐶 · (𝑘 + 𝑥)) = ((𝐶 · 𝑘) + (𝐶 · 𝑥)))
1512, 14sylan 278 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐶 · (𝑘 + 𝑥)) = ((𝐶 · 𝑘) + (𝐶 · 𝑥)))
16 simpr 109 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
1716, 1syl6eleq 2181 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
181eleq2i 2155 . . . . 5 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1918, 7sylan2br 283 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2019adantlr 462 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
21 iisermulc2.7 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐶 · (𝐹𝑘)))
2218, 21sylan2br 283 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) = (𝐶 · (𝐹𝑘)))
2322adantlr 462 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) = (𝐶 · (𝐹𝑘)))
24 cnex 7527 . . . 4 ℂ ∈ V
2524a1i 9 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ℂ ∈ V)
26 mulcl 7530 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
2726adantl 272 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
284adantr 271 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐶 ∈ ℂ)
2928, 7mulcld 7569 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐶 · (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
3021, 29eqeltrd 2165 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3118, 30sylan2br 283 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3231adantlr 462 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3311, 15, 17, 20, 23, 25, 27, 32, 12iseqdistr 10006 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺, ℂ)‘𝑗) = (𝐶 · (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗)))
341, 2, 3, 4, 6, 9, 33climmulc2 10780 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺, ℂ) ⇝ (𝐶 · 𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  Vcvv 2620   class class class wbr 3851  ‘cfv 5028  (class class class)co 5666  ℂcc 7409   + caddc 7414   · cmul 7416  ℤcz 8811  ℤ≥cuz 9080  seqcseq4 9912   ⇝ cli 10727 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524  ax-arch 7525  ax-caucvg 7526 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-3 8543  df-4 8544  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-rp 9196  df-iseq 9914  df-seq3 9915  df-exp 10016  df-cj 10337  df-re 10338  df-im 10339  df-rsqrt 10492  df-abs 10493  df-clim 10728 This theorem is referenced by:  isermulc2  10790  isummulc2  10881
 Copyright terms: Public domain W3C validator