Theorem iisermulc2 10550

Description: Multiplication of an infinite series by a constant. (Contributed by Paul Chapman, 14-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2ser.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isermulc2.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isermulc2.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
isermulc2.5	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐴)
isermulc2.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
isermulc2.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐶 · (𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
iisermulc2	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺, ℂ) ⇝ (𝐶 · 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝐶,𝑘   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iisermulc2

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim2ser.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		isermulc2.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		isermulc2.5	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐴)
4		isermulc2.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5		iseqex 9740	. . 3 ⊢ seq𝑀( + , 𝐺, ℂ) ∈ V
6	5	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺, ℂ) ∈ V)
7		isermulc2.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
8	1, 2, 7	iserf 9766	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ):𝑍⟶ℂ)
9	8	ffvelrnda 5377	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗) ∈ ℂ)
10		addcl 7368	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
11	10	adantl 271	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
12	4	adantr 270	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ ℂ)
13		adddi 7375	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐶 · (𝑘 + 𝑥)) = ((𝐶 · 𝑘) + (𝐶 · 𝑥)))
14	13	3expb 1140	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐶 · (𝑘 + 𝑥)) = ((𝐶 · 𝑘) + (𝐶 · 𝑥)))
15	12, 14	sylan 277	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐶 · (𝑘 + 𝑥)) = ((𝐶 · 𝑘) + (𝐶 · 𝑥)))
16		simpr 108	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
17	16, 1	syl6eleq 2175	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
18	1	eleq2i 2149	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
19	18, 7	sylan2br 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
20	19	adantlr 461	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
21		isermulc2.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐶 · (𝐹‘𝑘)))
22	18, 21	sylan2br 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) = (𝐶 · (𝐹‘𝑘)))
23	22	adantlr 461	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) = (𝐶 · (𝐹‘𝑘)))
24		cnex 7367	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
25	24	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ℂ ∈ V)
26		mulcl 7370	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
27	26	adantl 271	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
28	4	adantr 270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ ℂ)
29	28, 7	mulcld 7409	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐶 · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
30	21, 29	eqeltrd 2159	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
31	18, 30	sylan2br 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
32	31	adantlr 461	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
33	11, 15, 17, 20, 23, 25, 27, 32, 12	iseqdistr 9784	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺, ℂ)‘𝑗) = (𝐶 · (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗)))
34	1, 2, 3, 4, 6, 9, 33	climmulc2 10541	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺, ℂ) ⇝ (𝐶 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  Vcvv 2612   class class class wbr 3811  ‘cfv 4967  (class class class)co 5589  ℂcc 7249   + caddc 7254   · cmul 7256  ℤcz 8644  ℤ_≥cuz 8912  seqcseq 9738   ⇝ cli 10489

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1cn 7339  ax-1re 7340  ax-icn 7341  ax-addcl 7342  ax-addrcl 7343  ax-mulcl 7344  ax-mulrcl 7345  ax-addcom 7346  ax-mulcom 7347  ax-addass 7348  ax-mulass 7349  ax-distr 7350  ax-i2m1 7351  ax-0lt1 7352  ax-1rid 7353  ax-0id 7354  ax-rnegex 7355  ax-precex 7356  ax-cnre 7357  ax-pre-ltirr 7358  ax-pre-ltwlin 7359  ax-pre-lttrn 7360  ax-pre-apti 7361  ax-pre-ltadd 7362  ax-pre-mulgt0 7363  ax-pre-mulext 7364  ax-arch 7365  ax-caucvg 7366

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-po 4086  df-iso 4087  df-iord 4156  df-on 4158  df-ilim 4159  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-riota 5545  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-1st 5844  df-2nd 5845  df-recs 6000  df-frec 6086  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-le 7429  df-sub 7556  df-neg 7557  df-reap 7950  df-ap 7957  df-div 8036  df-inn 8315  df-2 8373  df-3 8374  df-4 8375  df-n0 8564  df-z 8645  df-uz 8913  df-rp 9028  df-iseq 9739  df-iexp 9790  df-cj 10101  df-re 10102  df-im 10103  df-rsqrt 10256  df-abs 10257  df-clim 10490

This theorem is referenced by: (None)