Theorem iseq1p 9772

Description: Removing the first term from a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqsplit.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
iseqsplit.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
iseqsplit.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
iseqsplit.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
iseq1p.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iseq1p.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
iseq1p	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = ((𝐹‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝑀,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem iseq1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqsplit.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2		iseqsplit.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
3		iseqsplit.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
4		iseqsplit.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5		iseq1p.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		uzid 8926	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		iseq1p.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	iseqsplit 9771	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁)))
10	5, 8, 1	iseq1 9750	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
11	10	oveq1d 5604	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁)) = ((𝐹‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁)))
12	9, 11	eqtrd 2115	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = ((𝐹‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∧ w3a 920   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  ‘cfv 4967  (class class class)co 5589  1c1 7252   + caddc 7254  ℤcz 8644  ℤ_≥cuz 8912  seqcseq 9738

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1cn 7339  ax-1re 7340  ax-icn 7341  ax-addcl 7342  ax-addrcl 7343  ax-mulcl 7344  ax-addcom 7346  ax-addass 7348  ax-distr 7350  ax-i2m1 7351  ax-0lt1 7352  ax-0id 7354  ax-rnegex 7355  ax-cnre 7357  ax-pre-ltirr 7358  ax-pre-ltwlin 7359  ax-pre-lttrn 7360  ax-pre-ltadd 7362

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-iord 4156  df-on 4158  df-ilim 4159  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-riota 5545  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-1st 5844  df-2nd 5845  df-recs 6000  df-frec 6086  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-le 7429  df-sub 7556  df-neg 7557  df-inn 8315  df-n0 8564  df-z 8645  df-uz 8913  df-fz 9318  df-iseq 9739

This theorem is referenced by: (None)