ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqex GIF version

Theorem iseqex 9742
Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
iseqex seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ∈ V

Proof of Theorem iseqex
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-iseq 9741 . 2 seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) = ran frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩)
2 frecex 6091 . . 3 frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) ∈ V
32rnex 4658 . 2 ran frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) ∈ V
41, 3eqeltri 2155 1 seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ∈ V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1434  Vcvv 2612  cop 3425  ran crn 4402  cfv 4969  (class class class)co 5591  cmpt2 5593  freccfrec 6087  1c1 7254   + caddc 7256  cuz 8914  seqcseq 9740
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-recs 6002  df-frec 6088  df-iseq 9741
This theorem is referenced by:  clim2iser  10549  clim2iser2  10550  iisermulc2  10552  fisumcvg  10574  isumrb  10575
  Copyright terms: Public domain W3C validator