Theorem iseqfcl 10024

Description: Range of the recursive sequence builder. New proofs should use seqf 10026 instead (together with iseqsst 10031 or iseqseq3 10041 if need be). (Contributed by Jim Kingdon, 11-Apr-2022.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqfcl.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iseqfcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iseqfcl.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
iseqfcl.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
iseqfcl	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆):𝑍⟶𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem iseqfcl

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqfcl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		eqid 2095	. . 3 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝑀) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝑀)
3		fveq2 5340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑀))
4	3	eleq1d 2163	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆))
5		iseqfcl.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
6	5	ralrimiva 2458	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
7		uzid 9132	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8	1, 7	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9		iseqfcl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
10	8, 9	syl6eleqr 2188	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
11	4, 6, 10	rspcdva 2741	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆)
12	9	eleq2i 2161	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13	12, 5	sylan2br 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
14		iseqfcl.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
15	13, 14	iseqovex 10016	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) ∈ 𝑆)
16		eqid 2095	. . 3 ⊢ frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
17	16, 13, 14	iseqval 10017	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) = ran frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩))
18	1, 2, 11, 15, 16, 17	frecuzrdgtcl 9968	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝑆)
19	9	feq2i 5189	. 2 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆):𝑍⟶𝑆 ↔ seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝑆)
20	18, 19	sylibr 133	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆):𝑍⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  ⟨cop 3469   ↦ cmpt 3921  ⟶wf 5045  ‘cfv 5049  (class class class)co 5690   ↦ cmpt2 5692  freccfrec 6193  1c1 7448   + caddc 7450  ℤcz 8848  ℤ_≥cuz 9118  seqcseq4 10000

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-frec 6194  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-iseq 10002

This theorem is referenced by:  iseqsst  10031