ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqfeq2 GIF version

Theorem iseqfeq2 9764
Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqfveq2.1 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
iseqfveq2.2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
iseqfveq2.f ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
iseqfveq2.g ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
iseqfveq2.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
iseqfeq2.4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
iseqfeq2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥,𝑦   𝑘,𝐾,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑥,𝑦   + ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦

Proof of Theorem iseqfeq2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2083 . . . . 5 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 iseqfveq2.1 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
3 eluzel2 8919 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
42, 3syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 iseqfveq2.f . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
6 iseqfveq2.pl . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
71, 4, 5, 6iseqfcl 9754 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆):(ℤ𝑀)⟶𝑆)
8 ffn 5114 . . . 4 (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆):(ℤ𝑀)⟶𝑆 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) Fn (ℤ𝑀))
97, 8syl 14 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) Fn (ℤ𝑀))
10 uzss 8934 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀))
112, 10syl 14 . . 3 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀))
12 fnssres 5080 . . 3 ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) Fn (ℤ𝑀) ∧ (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ𝐾)) Fn (ℤ𝐾))
139, 11, 12syl2anc 403 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ𝐾)) Fn (ℤ𝐾))
14 eqid 2083 . . . 4 (ℤ𝐾) = (ℤ𝐾)
15 eluzelz 8923 . . . . 5 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
162, 15syl 14 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
17 iseqfveq2.g . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
1814, 16, 17, 6iseqfcl 9754 . . 3 (𝜑 → seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆):(ℤ𝐾)⟶𝑆)
19 ffn 5114 . . 3 (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆):(ℤ𝐾)⟶𝑆 → seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆) Fn (ℤ𝐾))
2018, 19syl 14 . 2 (𝜑 → seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆) Fn (ℤ𝐾))
21 fvres 5274 . . . 4 (𝑧 ∈ (ℤ𝐾) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ𝐾))‘𝑧) = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑧))
2221adantl 271 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ𝐾))‘𝑧) = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑧))
232adantr 270 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
24 iseqfveq2.2 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
2524adantr 270 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
265adantlr 461 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
2717adantlr 461 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
286adantlr 461 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
29 simpr 108 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑧 ∈ (ℤ𝐾))
30 elfzuz 9331 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑧) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
31 iseqfeq2.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
3230, 31sylan2 280 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑧)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
3332adantlr 461 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑧)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
3423, 25, 26, 27, 28, 29, 33iseqfveq2 9763 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑧) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑧))
3522, 34eqtrd 2115 . 2 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ𝐾))‘𝑧) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑧))
3613, 20, 35eqfnfvd 5345 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  wss 2984  cres 4403   Fn wfn 4964  wf 4965  cfv 4969  (class class class)co 5591  1c1 7254   + caddc 7256  cz 8646  cuz 8914  ...cfz 9319  seqcseq 9740
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-ltadd 7364
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-ilim 4160  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-frec 6088  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915  df-fz 9320  df-iseq 9741
This theorem is referenced by:  iseqid  9782
  Copyright terms: Public domain W3C validator