ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqfveq GIF version

Theorem iseqfveq 9779
Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqfveq.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
iseqfveq.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
iseqfveq.f ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
iseqfveq.g ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
iseqfveq.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
iseqfveq (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑥,𝑦   𝑘,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   + ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦

Proof of Theorem iseqfveq
StepHypRef Expression
1 iseqfveq.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzel2 8933 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
31, 2syl 14 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 uzid 8942 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
53, 4syl 14 . 2 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
6 iseqfveq.f . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
7 iseqfveq.pl . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
83, 6, 7iseq1 9766 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
9 fveq2 5256 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
10 fveq2 5256 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑀))
119, 10eqeq12d 2099 . . . 4 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) = (𝐺𝑘) ↔ (𝐹𝑀) = (𝐺𝑀)))
12 iseqfveq.2 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
1312ralrimiva 2442 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
14 eluzfz1 9354 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
151, 14syl 14 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
1611, 13, 15rspcdva 2719 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑀) = (𝐺𝑀))
178, 16eqtrd 2117 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑀) = (𝐺𝑀))
18 iseqfveq.g . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
19 fzp1ss 9394 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
203, 19syl 14 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
2120sselda 3012 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
2221, 12syldan 276 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
235, 17, 6, 18, 7, 1, 22iseqfveq2 9777 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1287  wcel 1436  wss 2986  cfv 4972  (class class class)co 5594  1c1 7272   + caddc 7274  cz 8660  cuz 8928  ...cfz 9333  seqcseq 9754
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-addcom 7366  ax-addass 7368  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-ltadd 7382
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-iord 4160  df-on 4162  df-ilim 4163  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-recs 6005  df-frec 6091  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-inn 8335  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929  df-fz 9334  df-iseq 9755
This theorem is referenced by:  iseqfeq  9780
  Copyright terms: Public domain W3C validator