Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqfveq GIF version

Theorem iseqfveq 9955
 Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jun-2020.) Use seq3fveq 9956 instead. (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqfveq.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
iseqfveq.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
iseqfveq.f ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
iseqfveq.g ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
iseqfveq.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
iseqfveq (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑥,𝑦   𝑘,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   + ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦

Proof of Theorem iseqfveq
StepHypRef Expression
1 iseqfveq.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzel2 9085 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
31, 2syl 14 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 uzid 9094 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
53, 4syl 14 . 2 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
6 iseqfveq.f . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
7 iseqfveq.pl . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
83, 6, 7iseq1 9936 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
9 fveq2 5318 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
10 fveq2 5318 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑀))
119, 10eqeq12d 2103 . . . 4 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) = (𝐺𝑘) ↔ (𝐹𝑀) = (𝐺𝑀)))
12 iseqfveq.2 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
1312ralrimiva 2447 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
14 eluzfz1 9506 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
151, 14syl 14 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
1611, 13, 15rspcdva 2728 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑀) = (𝐺𝑀))
178, 16eqtrd 2121 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑀) = (𝐺𝑀))
18 iseqfveq.g . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
19 fzp1ss 9548 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
203, 19syl 14 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
2120sselda 3026 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
2221, 12syldan 277 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
235, 17, 6, 18, 7, 1, 22iseqfveq2 9951 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1290   ∈ wcel 1439   ⊆ wss 3000  ‘cfv 5028  (class class class)co 5666  1c1 7412   + caddc 7414  ℤcz 8811  ℤ≥cuz 9080  ...cfz 9485  seqcseq4 9912 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-ltadd 7522 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-fz 9486  df-iseq 9914 This theorem is referenced by:  iseqfeq  9957  fisum  10839  fisumser  10851
 Copyright terms: Public domain W3C validator