Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqid3 GIF version

Theorem iseqid3 9779
 Description: A sequence that consists entirely of zeroes (or whatever the identity 𝑍 is for operation +) sums to zero. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqid3.1 (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
iseqid3.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
iseqid3.3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) = 𝑍)
iseqid3.z (𝜑𝑍𝑉)
Assertion
Ref Expression
iseqid3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, {𝑍})‘𝑁) = 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥   𝑥,𝑍   𝑥,𝑁
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iseqid3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqid3.2 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 iseqid3.3 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) = 𝑍)
3 iseqid3.z . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
4 elsn2g 3451 . . . . . 6 (𝑍𝑉 → ((𝐹𝑥) ∈ {𝑍} ↔ (𝐹𝑥) = 𝑍))
53, 4syl 14 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝑥) ∈ {𝑍} ↔ (𝐹𝑥) = 𝑍))
65adantr 270 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝑥) ∈ {𝑍} ↔ (𝐹𝑥) = 𝑍))
72, 6mpbird 165 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ {𝑍})
8 iseqid3.1 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
9 elsn2g 3451 . . . . . . 7 (𝑍𝑉 → ((𝑍 + 𝑍) ∈ {𝑍} ↔ (𝑍 + 𝑍) = 𝑍))
103, 9syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑍 + 𝑍) ∈ {𝑍} ↔ (𝑍 + 𝑍) = 𝑍))
118, 10mpbird 165 . . . . 5 (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) ∈ {𝑍})
12 elsni 3440 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑍} → 𝑥 = 𝑍)
13 elsni 3440 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑍} → 𝑦 = 𝑍)
1412, 13oveqan12d 5609 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍}) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑍 + 𝑍))
1514eleq1d 2151 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍}) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍} ↔ (𝑍 + 𝑍) ∈ {𝑍}))
1611, 15syl5ibrcom 155 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍}) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍}))
1716imp 122 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍})) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍})
181, 7, 17iseqcl 9755 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, {𝑍})‘𝑁) ∈ {𝑍})
19 elsni 3440 . 2 ((seq𝑀( + , 𝐹, {𝑍})‘𝑁) ∈ {𝑍} → (seq𝑀( + , 𝐹, {𝑍})‘𝑁) = 𝑍)
2018, 19syl 14 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, {𝑍})‘𝑁) = 𝑍)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  {csn 3422  ‘cfv 4968  (class class class)co 5590  ℤ≥cuz 8913  seqcseq 9739 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365  ax-cnex 7338  ax-resscn 7339  ax-1cn 7340  ax-1re 7341  ax-icn 7342  ax-addcl 7343  ax-addrcl 7344  ax-mulcl 7345  ax-addcom 7347  ax-addass 7349  ax-distr 7351  ax-i2m1 7352  ax-0lt1 7353  ax-0id 7355  ax-rnegex 7356  ax-cnre 7358  ax-pre-ltirr 7359  ax-pre-ltwlin 7360  ax-pre-lttrn 7361  ax-pre-ltadd 7363 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-iord 4156  df-on 4158  df-ilim 4159  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4406  df-rel 4407  df-cnv 4408  df-co 4409  df-dm 4410  df-rn 4411  df-res 4412  df-ima 4413  df-iota 4933  df-fun 4970  df-fn 4971  df-f 4972  df-f1 4973  df-fo 4974  df-f1o 4975  df-fv 4976  df-riota 5546  df-ov 5593  df-oprab 5594  df-mpt2 5595  df-1st 5845  df-2nd 5846  df-recs 6001  df-frec 6087  df-pnf 7426  df-mnf 7427  df-xr 7428  df-ltxr 7429  df-le 7430  df-sub 7557  df-neg 7558  df-inn 8316  df-n0 8565  df-z 8646  df-uz 8914  df-iseq 9740 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator