ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqp1t GIF version

Theorem iseqp1t 9848
Description: Value of the sequence builder function at a successor.

New proofs should use seq3p1 9849 instead (together with iseqsst 9851 or iseqseq3 9867 if need be).

(Contributed by Jim Kingdon, 30-Apr-2022.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses
Ref Expression
iseqp1t.m (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
iseqp1t.f ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
iseqp1t.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
iseqp1t.t (𝜑𝑆𝑇)
Assertion
Ref Expression
iseqp1t (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem iseqp1t
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑧 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqp1t.m . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzel2 8993 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
31, 2syl 14 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 fveq2 5289 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑀))
54eleq1d 2156 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑀) ∈ 𝑆))
6 iseqp1t.f . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
76ralrimiva 2446 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
8 uzid 9002 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
93, 8syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
105, 7, 9rspcdva 2727 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝑆)
11 iseqp1t.t . . . 4 (𝜑𝑆𝑇)
12 iseqp1t.pl . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
136, 12iseqovex 9835 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) ∈ 𝑆)
14 iseqvalcbv 9837 . . . 4 frec((𝑎 ∈ (ℤ𝑀), 𝑏𝑇 ↦ ⟨(𝑎 + 1), (𝑎(𝑐 ∈ (ℤ𝑀), 𝑑𝑆 ↦ (𝑑 + (𝐹‘(𝑐 + 1))))𝑏)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩)
153, 14, 6, 12, 11iseqvalt 9838 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇) = ran frec((𝑎 ∈ (ℤ𝑀), 𝑏𝑇 ↦ ⟨(𝑎 + 1), (𝑎(𝑐 ∈ (ℤ𝑀), 𝑑𝑆 ↦ (𝑑 + (𝐹‘(𝑐 + 1))))𝑏)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩))
163, 10, 11, 13, 14, 15frecuzrdgsuct 9796 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑁)))
171, 16mpdan 412 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑁)))
18 eqid 2088 . . . . 5 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
1918, 3, 6, 12, 11iseqfclt 9844 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇):(ℤ𝑀)⟶𝑆)
2019, 1ffvelrnd 5419 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑁) ∈ 𝑆)
21 fveq2 5289 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑁 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
2221eleq1d 2156 . . . . 5 (𝑥 = (𝑁 + 1) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑆))
23 peano2uz 9040 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
241, 23syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
2522, 7, 24rspcdva 2727 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑆)
2612, 20, 25caovcld 5780 . . 3 (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) ∈ 𝑆)
27 oveq1 5641 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑁 → (𝑧 + 1) = (𝑁 + 1))
2827fveq2d 5293 . . . . 5 (𝑧 = 𝑁 → (𝐹‘(𝑧 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
2928oveq2d 5650 . . . 4 (𝑧 = 𝑁 → (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))) = (𝑤 + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
30 oveq1 5641 . . . 4 (𝑤 = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑁) → (𝑤 + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
31 eqid 2088 . . . 4 (𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = (𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))
3229, 30, 31ovmpt2g 5761 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑁) ∈ 𝑆 ∧ ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) ∈ 𝑆) → (𝑁(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑁)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
331, 20, 26, 32syl3anc 1174 . 2 (𝜑 → (𝑁(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑁)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
3417, 33eqtrd 2120 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑇)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  wss 2997  cop 3444  cfv 5002  (class class class)co 5634  cmpt2 5636  freccfrec 6137  1c1 7330   + caddc 7332  cz 8720  cuz 8988  seqcseq4 9816
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-iseq 9818
This theorem is referenced by:  iseqsst  9851
  Copyright terms: Public domain W3C validator