Theorem iser0f 9786

Description: A zero-valued infinite series is equal to the constant zero function. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
iser0.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
iser0f	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) = (𝑍 × {0}))

Proof of Theorem iser0f

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iser0.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	iser0 9785	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ)‘𝑘) = 0)
3		c0ex 7383	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
4	3	fvconst2 5451	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑍 × {0})‘𝑘) = 0)
5	2, 4	eqtr4d 2118	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ)‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘))
6	5	rgen 2422	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ)‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)
7		eqid 2083	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
8		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
9	1	eleq2i 2149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		0cnd 7382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 0 ∈ ℂ)
11	4, 10	eqeltrd 2159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
12	9, 11	sylbir 133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
13	12	adantl 271	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
14	7, 8, 13	iserf 9766	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℂ)
15		ffn 5112	. . . . 5 ⊢ (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ):(ℤ≥‘𝑀)⟶ℂ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) Fn (ℤ≥‘𝑀))
16	14, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) Fn (ℤ≥‘𝑀))
17	1	fneq2i 5060	. . . 4 ⊢ (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) Fn 𝑍 ↔ seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) Fn (ℤ≥‘𝑀))
18	16, 17	sylibr 132	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) Fn 𝑍)
19	3	fconst 5152	. . . 4 ⊢ (𝑍 × {0}):𝑍⟶{0}
20		ffn 5112	. . . 4 ⊢ ((𝑍 × {0}):𝑍⟶{0} → (𝑍 × {0}) Fn 𝑍)
21	19, 20	ax-mp 7	. . 3 ⊢ (𝑍 × {0}) Fn 𝑍
22		eqfnfv 5340	. . 3 ⊢ ((seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) Fn 𝑍 ∧ (𝑍 × {0}) Fn 𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) = (𝑍 × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ)‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)))
23	18, 21, 22	sylancl 404	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) = (𝑍 × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ)‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)))
24	6, 23	mpbiri 166	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) = (𝑍 × {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  ∀wral 2353  {csn 3422   × cxp 4397   Fn wfn 4962  ⟶wf 4963  ‘cfv 4967  ℂcc 7249  0cc0 7251   + caddc 7254  ℤcz 8644  ℤ_≥cuz 8912  seqcseq 9738

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1cn 7339  ax-1re 7340  ax-icn 7341  ax-addcl 7342  ax-addrcl 7343  ax-mulcl 7344  ax-addcom 7346  ax-addass 7348  ax-distr 7350  ax-i2m1 7351  ax-0lt1 7352  ax-0id 7354  ax-rnegex 7355  ax-cnre 7357  ax-pre-ltirr 7358  ax-pre-ltwlin 7359  ax-pre-lttrn 7360  ax-pre-ltadd 7362

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-iord 4156  df-on 4158  df-ilim 4159  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-riota 5545  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-1st 5844  df-2nd 5845  df-recs 6000  df-frec 6086  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-le 7429  df-sub 7556  df-neg 7557  df-inn 8315  df-n0 8564  df-z 8645  df-uz 8913  df-fz 9318  df-fzo 9442  df-iseq 9739

This theorem is referenced by:  iserclim0  10516