Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iserile GIF version

Theorem iserile 10552
 Description: Comparison of the limits of two infinite series. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iserile.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iserile.4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐴)
iserile.5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺, ℂ) ⇝ 𝐵)
iserile.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
iserile.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
iserile.8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
iserile (𝜑𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iserile
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clim2ser.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 iserile.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 iserile.4 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐴)
4 iserile.5 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺, ℂ) ⇝ 𝐵)
5 cnex 7367 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
65a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ∈ V)
7 ax-resscn 7338 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
87a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
91eleq2i 2149 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
10 iserile.6 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
119, 10sylan2br 282 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
12 readdcl 7369 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℝ)
1312adantl 271 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℝ)
14 addcl 7368 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
1514adantl 271 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
162, 6, 8, 11, 13, 15iseqss 9758 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℝ) = seq𝑀( + , 𝐹, ℂ))
1716adantr 270 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → seq𝑀( + , 𝐹, ℝ) = seq𝑀( + , 𝐹, ℂ))
1817fveq1d 5253 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑗) = (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗))
191, 2, 10iserfre 9767 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℝ):𝑍⟶ℝ)
2019ffvelrnda 5377 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑗) ∈ ℝ)
2118, 20eqeltrrd 2160 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗) ∈ ℝ)
22 iserile.7 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
239, 22sylan2br 282 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
242, 6, 8, 23, 13, 15iseqss 9758 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺, ℝ) = seq𝑀( + , 𝐺, ℂ))
2524adantr 270 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → seq𝑀( + , 𝐺, ℝ) = seq𝑀( + , 𝐺, ℂ))
2625fveq1d 5253 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺, ℝ)‘𝑗) = (seq𝑀( + , 𝐺, ℂ)‘𝑗))
271, 2, 22iserfre 9767 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺, ℝ):𝑍⟶ℝ)
2827ffvelrnda 5377 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺, ℝ)‘𝑗) ∈ ℝ)
2926, 28eqeltrrd 2160 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺, ℂ)‘𝑗) ∈ ℝ)
30 simpr 108 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
3130, 1syl6eleq 2175 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
3211adantlr 461 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
3323adantlr 461 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
34 simpll 496 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝜑)
359biimpri 131 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘𝑍)
3635adantl 271 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘𝑍)
37 iserile.8 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
3834, 36, 37syl2anc 403 . . 3 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
3931, 32, 33, 38serile 9788 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺, ℂ)‘𝑗))
401, 2, 3, 4, 21, 29, 39climle 10544 1 (𝜑𝐴𝐵)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  Vcvv 2612   ⊆ wss 2984   class class class wbr 3811  ‘cfv 4967  (class class class)co 5589  ℂcc 7249  ℝcr 7250   + caddc 7254   ≤ cle 7424  ℤcz 8644  ℤ≥cuz 8912  seqcseq 9738   ⇝ cli 10489 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1cn 7339  ax-1re 7340  ax-icn 7341  ax-addcl 7342  ax-addrcl 7343  ax-mulcl 7344  ax-mulrcl 7345  ax-addcom 7346  ax-mulcom 7347  ax-addass 7348  ax-mulass 7349  ax-distr 7350  ax-i2m1 7351  ax-0lt1 7352  ax-1rid 7353  ax-0id 7354  ax-rnegex 7355  ax-precex 7356  ax-cnre 7357  ax-pre-ltirr 7358  ax-pre-ltwlin 7359  ax-pre-lttrn 7360  ax-pre-apti 7361  ax-pre-ltadd 7362  ax-pre-mulgt0 7363  ax-pre-mulext 7364  ax-arch 7365  ax-caucvg 7366 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-po 4086  df-iso 4087  df-iord 4156  df-on 4158  df-ilim 4159  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-riota 5545  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-1st 5844  df-2nd 5845  df-recs 6000  df-frec 6086  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-le 7429  df-sub 7556  df-neg 7557  df-reap 7950  df-ap 7957  df-div 8036  df-inn 8315  df-2 8373  df-3 8374  df-4 8375  df-n0 8564  df-z 8645  df-uz 8913  df-rp 9028  df-fz 9318  df-fzo 9442  df-iseq 9739  df-iexp 9790  df-cj 10101  df-re 10102  df-im 10103  df-rsqrt 10256  df-abs 10257  df-clim 10490 This theorem is referenced by:  iserige0  10553
 Copyright terms: Public domain W3C validator