Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isummolemnm GIF version

Theorem isummolemnm 10987
 Description: Lemma for summodc 10991. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isummo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
isummo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
isummolem3.5 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
isummolem3.6 (𝜑𝑓:(1...𝑀)–1-1-onto𝐴)
isummolem3.7 (𝜑𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
Assertion
Ref Expression
isummolemnm (𝜑𝑁 = 𝑀)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓,𝑘)   𝐹(𝑓,𝑘)   𝐾(𝑓,𝑘)   𝑀(𝑓)   𝑁(𝑓)

Proof of Theorem isummolemnm
StepHypRef Expression
1 1zzd 8933 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2 isummolem3.5 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
32simprd 113 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43nnzd 9024 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
51, 4fzfigd 10045 . . 3 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
6 isummolem3.6 . . . . 5 (𝜑𝑓:(1...𝑀)–1-1-onto𝐴)
7 f1ocnv 5314 . . . . 5 (𝑓:(1...𝑀)–1-1-onto𝐴𝑓:𝐴1-1-onto→(1...𝑀))
86, 7syl 14 . . . 4 (𝜑𝑓:𝐴1-1-onto→(1...𝑀))
9 isummolem3.7 . . . 4 (𝜑𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
10 f1oco 5324 . . . 4 ((𝑓:𝐴1-1-onto→(1...𝑀) ∧ 𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴) → (𝑓𝐾):(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑀))
118, 9, 10syl2anc 406 . . 3 (𝜑 → (𝑓𝐾):(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑀))
125, 11fihasheqf1od 10377 . 2 (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = (♯‘(1...𝑀)))
13 nnnn0 8836 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
14 hashfz1 10370 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
153, 13, 143syl 17 . 2 (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
162simpld 111 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
17 nnnn0 8836 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
18 hashfz1 10370 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
1916, 17, 183syl 17 . 2 (𝜑 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
2012, 15, 193eqtr3d 2140 1 (𝜑𝑁 = 𝑀)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1299   ∈ wcel 1448  ifcif 3421   ↦ cmpt 3929  ◡ccnv 4476   ∘ ccom 4481  –1-1-onto→wf1o 5058  ‘cfv 5059  (class class class)co 5706  ℂcc 7498  0cc0 7500  1c1 7501  ℕcn 8578  ℕ0cn0 8829  ℤcz 8906  ...cfz 9631  ♯chash 10362 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-1o 6243  df-er 6359  df-en 6565  df-dom 6566  df-fin 6567  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-fz 9632  df-ihash 10363 This theorem is referenced by:  summodclem3  10988
 Copyright terms: Public domain W3C validator