Theorem isumrb 10829

Description: Rebase the starting point of a sum. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isummo.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
isummo.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
isumrb.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumrb.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
isumrb.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
isumrb.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
isumrb.mdc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
isumrb.ndc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
isumrb	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem isumrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumrb.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	adantr 271	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		iseqex 9917	. . . 4 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ V
4		climres 10752	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ V) → ((seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐶))
5	2, 3, 4	sylancl 405	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐶))
6		isumrb.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
7		isummo.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
8		isummo.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	adantlr 462	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10		isumrb.mdc	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
11	10	adantlr 462	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
12		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13	7, 9, 11, 12	isumrblem 10826	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹, ℂ))
14	6, 13	mpidan 415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹, ℂ))
15	14	breq1d 3861	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐶))
16	5, 15	bitr3d 189	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐶))
17		isumrb.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
18	8	adantlr 462	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
19		isumrb.ndc	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
20	19	adantlr 462	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
21		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
22	7, 18, 20, 21	isumrblem 10826	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ↾ (ℤ≥‘𝑀)) = seq𝑀( + , 𝐹, ℂ))
23	17, 22	mpidan 415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ↾ (ℤ≥‘𝑀)) = seq𝑀( + , 𝐹, ℂ))
24	23	breq1d 3861	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐶))
25		isumrb.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
26	25	adantr 271	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
27		iseqex 9917	. . . 4 ⊢ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ V
28		climres 10752	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ V) → ((seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐶))
29	26, 27, 28	sylancl 405	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐶))
30	24, 29	bitr3d 189	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐶))
31		uztric 9101	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
32	25, 1, 31	syl2anc 404	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
33	16, 30, 32	mpjaodan 748	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 665  DECID wdc 781   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  Vcvv 2620   ⊆ wss 3000  ifcif 3397   class class class wbr 3851   ↦ cmpt 3905   ↾ cres 4454  ‘cfv 5028  ℂcc 7409  0cc0 7411   + caddc 7414  ℤcz 8811  ℤ_≥cuz 9080  seqcseq4 9912   ⇝ cli 10727

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-fz 9486  df-fzo 9615  df-iseq 9914  df-clim 10728

This theorem is referenced by:  isummo  10834  zisum  10835