ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumrb GIF version

Theorem isumrb 10574
Description: Rebase the starting point of a sum. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isummo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
isummo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
isumrb.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumrb.5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
isumrb.6 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
isumrb.7 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁))
isumrb.mdc ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
isumrb.ndc ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → DECID 𝑘𝐴)
Assertion
Ref Expression
isumrb (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem isumrb
StepHypRef Expression
1 isumrb.5 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
21adantr 270 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 iseqex 9741 . . . 4 seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ V
4 climres 10515 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ∈ V) → ((seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐶))
52, 3, 4sylancl 404 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐶))
6 isumrb.7 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁))
7 isummo.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
8 isummo.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
98adantlr 461 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10 isumrb.mdc . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
1110adantlr 461 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
12 simpr 108 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
137, 9, 11, 12isumrblem 10572 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹, ℂ))
146, 13mpidan 414 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹, ℂ))
1514breq1d 3821 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐶))
165, 15bitr3d 188 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐶))
17 isumrb.6 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
188adantlr 461 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
19 isumrb.ndc . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → DECID 𝑘𝐴)
2019adantlr 461 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → DECID 𝑘𝐴)
21 simpr 108 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
227, 18, 20, 21isumrblem 10572 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀)) → (seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ↾ (ℤ𝑀)) = seq𝑀( + , 𝐹, ℂ))
2317, 22mpidan 414 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ↾ (ℤ𝑀)) = seq𝑀( + , 𝐹, ℂ))
2423breq1d 3821 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → ((seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐶))
25 isumrb.4 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2625adantr 270 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
27 iseqex 9741 . . . 4 seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ V
28 climres 10515 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ∈ V) → ((seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐶))
2926, 27, 28sylancl 404 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → ((seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐶))
3024, 29bitr3d 188 . 2 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐶))
31 uztric 8934 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)))
3225, 1, 31syl2anc 403 . 2 (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)))
3316, 30, 32mpjaodan 745 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  DECID wdc 776   = wceq 1285  wcel 1434  Vcvv 2612  wss 2984  ifcif 3373   class class class wbr 3811  cmpt 3865  cres 4402  cfv 4968  cc 7250  0cc0 7252   + caddc 7255  cz 8645  cuz 8913  seqcseq 9739  cli 10490
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365  ax-cnex 7338  ax-resscn 7339  ax-1cn 7340  ax-1re 7341  ax-icn 7342  ax-addcl 7343  ax-addrcl 7344  ax-mulcl 7345  ax-addcom 7347  ax-addass 7349  ax-distr 7351  ax-i2m1 7352  ax-0lt1 7353  ax-0id 7355  ax-rnegex 7356  ax-cnre 7358  ax-pre-ltirr 7359  ax-pre-ltwlin 7360  ax-pre-lttrn 7361  ax-pre-apti 7362  ax-pre-ltadd 7363
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-iord 4156  df-on 4158  df-ilim 4159  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4406  df-rel 4407  df-cnv 4408  df-co 4409  df-dm 4410  df-rn 4411  df-res 4412  df-ima 4413  df-iota 4933  df-fun 4970  df-fn 4971  df-f 4972  df-f1 4973  df-fo 4974  df-f1o 4975  df-fv 4976  df-riota 5546  df-ov 5593  df-oprab 5594  df-mpt2 5595  df-1st 5845  df-2nd 5846  df-recs 6001  df-frec 6087  df-pnf 7426  df-mnf 7427  df-xr 7428  df-ltxr 7429  df-le 7430  df-sub 7557  df-neg 7558  df-inn 8316  df-n0 8565  df-z 8646  df-uz 8914  df-fz 9319  df-fzo 9443  df-iseq 9740  df-clim 10491
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator