ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumrblem GIF version

Theorem isumrblem 10587
Description: Lemma for isumrb 10589. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
isummo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
isummo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
isummo.dc ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
isumrb.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
isumrblem ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹, ℂ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem isumrblem
Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addid2 7542 . . 3 (𝑛 ∈ ℂ → (0 + 𝑛) = 𝑛)
21adantl 271 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (0 + 𝑛) = 𝑛)
3 0cnd 7402 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 0 ∈ ℂ)
4 isumrb.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
54adantr 270 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
6 eluzelz 8937 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
75, 6syl 14 . . . 4 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8 eleq1 2147 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘𝐴𝑁𝐴))
98ifbid 3395 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑁𝐴, 𝐵, 0))
109eleq1d 2153 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ ↔ if(𝑁𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
11 isummo.dc . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
12 exmiddc 780 . . . . . . . . 9 (DECID 𝑘𝐴 → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
1311, 12syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
14 iftrue 3381 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
1514adantl 271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
16 isummo.2 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1715, 16eqeltrd 2161 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
1817ex 113 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
19 iffalse 3384 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 0)
20 0cn 7401 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
2119, 20syl6eqel 2175 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
2221a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
2318, 22jaod 670 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
2423adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
2513, 24mpd 13 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
2625ralrimiva 2442 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
2710, 26, 4rspcdva 2719 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑁𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
2827adantr 270 . . . 4 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → if(𝑁𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
29 isummo.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
309, 29fvmptg 5328 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ if(𝑁𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹𝑁) = if(𝑁𝐴, 𝐵, 0))
317, 28, 30syl2anc 403 . . 3 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑁) = if(𝑁𝐴, 𝐵, 0))
3231, 28eqeltrd 2161 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
33 elfzelz 9349 . . . 4 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
34 eleq1 2147 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘𝐴𝑛𝐴))
3534ifbid 3395 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑛𝐴, 𝐵, 0))
3635eleq1d 2153 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → (if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ ↔ if(𝑛𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
3726ad2antrr 472 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
38 elfzuz 9345 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
3938adantl 271 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
4036, 37, 39rspcdva 2719 . . . 4 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → if(𝑛𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
4135, 29fvmptg 5328 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ if(𝑛𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹𝑛) = if(𝑛𝐴, 𝐵, 0))
4233, 40, 41syl2an2 559 . . 3 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑛) = if(𝑛𝐴, 𝐵, 0))
43 uznfz 9424 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → ¬ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
4443con2i 590 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
4544adantl 271 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
46 ssel 3006 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ (ℤ𝑁) → (𝑛𝐴𝑛 ∈ (ℤ𝑁)))
4746ad2antlr 473 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛𝐴𝑛 ∈ (ℤ𝑁)))
4845, 47mtod 622 . . . 4 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛𝐴)
4948iffalsed 3386 . . 3 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → if(𝑛𝐴, 𝐵, 0) = 0)
5042, 49eqtrd 2117 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑛) = 0)
51 eluzelz 8937 . . . 4 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
5226ad2antrr 472 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
53 simpr 108 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
5436, 52, 53rspcdva 2719 . . . 4 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑛𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
5551, 54, 41syl2an2 559 . . 3 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑛) = if(𝑛𝐴, 𝐵, 0))
5655, 54eqeltrd 2161 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
57 addcl 7388 . . 3 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑧) ∈ ℂ)
5857adantl 271 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑛 + 𝑧) ∈ ℂ)
592, 3, 5, 32, 50, 56, 58iseqid 9796 1 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹, ℂ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wo 662  DECID wdc 778   = wceq 1287  wcel 1436  wral 2355  wss 2986  ifcif 3376  cmpt 3868  cres 4406  cfv 4972  (class class class)co 5594  cc 7269  0cc0 7271  1c1 7272   + caddc 7274  cmin 7574  cz 8660  cuz 8928  ...cfz 9333  seqcseq 9754
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-addcom 7366  ax-addass 7368  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-ltadd 7382
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-if 3377  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-iord 4160  df-on 4162  df-ilim 4163  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-recs 6005  df-frec 6091  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-inn 8335  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929  df-fz 9334  df-fzo 9458  df-iseq 9755
This theorem is referenced by:  isumrb  10589
  Copyright terms: Public domain W3C validator