Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0.999...OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0.999...OLD 14821
 Description: Obsolete version of 0.999... 14820 as of 8-Sep-2021. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0.999...OLD Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = 1

Proof of Theorem 0.999...OLD
StepHypRef Expression
1 10reOLD 11312 . . . . . . 7 10 ∈ ℝ
21recni 10255 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
3 nnnn0 11502 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
4 expcl 13086 . . . . . 6 ((10 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancr 569 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
62a1i 11 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 10 ∈ ℂ)
7 10posOLD 11326 . . . . . . . 8 0 < 10
81, 7gt0ne0ii 10767 . . . . . . 7 10 ≠ 0
98a1i 11 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 10 ≠ 0)
10 nnz 11602 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
116, 9, 10expne0d 13222 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (10↑𝑘) ≠ 0)
12 9cn 11311 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
13 divrec 10904 . . . . . 6 ((9 ∈ ℂ ∧ (10↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (10↑𝑘) ≠ 0) → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
1412, 13mp3an1 1559 . . . . 5 (((10↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (10↑𝑘) ≠ 0) → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
155, 11, 14syl2anc 567 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
166, 9, 10exprecd 13224 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 10)↑𝑘) = (1 / (10↑𝑘)))
1716oveq2d 6810 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
1815, 17eqtr4d 2808 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · ((1 / 10)↑𝑘)))
1918sumeq2i 14638 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘))
201, 8rereccli 10993 . . . . 5 (1 / 10) ∈ ℝ
2120recni 10255 . . . 4 (1 / 10) ∈ ℂ
22 0re 10243 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
231, 7recgt0ii 11132 . . . . . . 7 0 < (1 / 10)
2422, 20, 23ltleii 10363 . . . . . 6 0 ≤ (1 / 10)
2520absidi 14326 . . . . . 6 (0 ≤ (1 / 10) → (abs‘(1 / 10)) = (1 / 10))
2624, 25ax-mp 5 . . . . 5 (abs‘(1 / 10)) = (1 / 10)
27 1lt10OLD 11441 . . . . . 6 1 < 10
28 recgt1 11122 . . . . . . 7 ((10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10) → (1 < 10 ↔ (1 / 10) < 1))
291, 7, 28mp2an 666 . . . . . 6 (1 < 10 ↔ (1 / 10) < 1)
3027, 29mpbi 220 . . . . 5 (1 / 10) < 1
3126, 30eqbrtri 4808 . . . 4 (abs‘(1 / 10)) < 1
32 geoisum1c 14819 . . . 4 ((9 ∈ ℂ ∧ (1 / 10) ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 / 10)) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10))))
3312, 21, 31, 32mp3an 1572 . . 3 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10)))
3412, 2, 8divreci 10973 . . . 4 (9 / 10) = (9 · (1 / 10))
3512, 2, 8divcan2i 10971 . . . . . 6 (10 · (9 / 10)) = 9
36 ax-1cn 10197 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
372, 36, 21subdii 10682 . . . . . . 7 (10 · (1 − (1 / 10))) = ((10 · 1) − (10 · (1 / 10)))
382mulid1i 10245 . . . . . . . 8 (10 · 1) = 10
392, 8recidi 10959 . . . . . . . 8 (10 · (1 / 10)) = 1
4038, 39oveq12i 6806 . . . . . . 7 ((10 · 1) − (10 · (1 / 10))) = (10 − 1)
4136, 12addcomi 10430 . . . . . . . . 9 (1 + 9) = (9 + 1)
42 df-10OLD 11290 . . . . . . . . 9 10 = (9 + 1)
4341, 42eqtr4i 2796 . . . . . . . 8 (1 + 9) = 10
442, 36, 12, 43subaddrii 10573 . . . . . . 7 (10 − 1) = 9
4537, 40, 443eqtrri 2798 . . . . . 6 9 = (10 · (1 − (1 / 10)))
4635, 45eqtri 2793 . . . . 5 (10 · (9 / 10)) = (10 · (1 − (1 / 10)))
47 9re 11310 . . . . . . . 8 9 ∈ ℝ
4847, 1, 8redivcli 10995 . . . . . . 7 (9 / 10) ∈ ℝ
4948recni 10255 . . . . . 6 (9 / 10) ∈ ℂ
5036, 21subcli 10560 . . . . . 6 (1 − (1 / 10)) ∈ ℂ
5149, 50, 2, 8mulcani 10869 . . . . 5 ((10 · (9 / 10)) = (10 · (1 − (1 / 10))) ↔ (9 / 10) = (1 − (1 / 10)))
5246, 51mpbi 220 . . . 4 (9 / 10) = (1 − (1 / 10))
5334, 52oveq12i 6806 . . 3 ((9 / 10) / (9 / 10)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10)))
54 9pos 11325 . . . . . 6 0 < 9
5547, 1, 54, 7divgt0ii 11144 . . . . 5 0 < (9 / 10)
5648, 55gt0ne0ii 10767 . . . 4 (9 / 10) ≠ 0
5749, 56dividi 10961 . . 3 ((9 / 10) / (9 / 10)) = 1
5833, 53, 573eqtr2i 2799 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = 1
5919, 58eqtri 2793 1 Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943   class class class wbr 4787  ‘cfv 6032  (class class class)co 6794  ℂcc 10137  ℝcr 10138  0cc0 10139  1c1 10140   + caddc 10142   · cmul 10144   < clt 10277   ≤ cle 10278   − cmin 10469   / cdiv 10887  ℕcn 11223  9c9 11280  10c10 11281  ℕ0cn0 11495  ↑cexp 13068  abscabs 14183  Σcsu 14625 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-inf2 8703  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216  ax-pre-sup 10217 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-isom 6041  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-oadd 7718  df-er 7897  df-pm 8013  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8966  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-4 11284  df-5 11285  df-6 11286  df-7 11287  df-8 11288  df-9 11289  df-10OLD 11290  df-n0 11496  df-z 11581  df-uz 11890  df-rp 12037  df-fz 12535  df-fzo 12675  df-fl 12802  df-seq 13010  df-exp 13069  df-hash 13323  df-cj 14048  df-re 14049  df-im 14050  df-sqrt 14184  df-abs 14185  df-clim 14428  df-rlim 14429  df-sum 14626 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator