Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0csh0OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0csh0OLD 14016
 Description: Obsolete version of cshnz 14013 as of 12-Oct-2022. (Contributed by AV, 25-Oct-2018.) (Revised by AV, 17-Nov-2018.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0csh0OLD (∅ cyclShiftOLD 𝑁) = ∅

Proof of Theorem 0csh0OLD
Dummy variables 𝑓 𝑙 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cshOLD 14009 . . . 4 cyclShiftOLD = (𝑤 ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)}, 𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑤 = ∅, ∅, ((𝑤 substr ⟨(𝑛 mod (♯‘𝑤)), (♯‘𝑤)⟩) ++ (𝑤 substr ⟨0, (𝑛 mod (♯‘𝑤))⟩))))
21a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → cyclShiftOLD = (𝑤 ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)}, 𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑤 = ∅, ∅, ((𝑤 substr ⟨(𝑛 mod (♯‘𝑤)), (♯‘𝑤)⟩) ++ (𝑤 substr ⟨0, (𝑛 mod (♯‘𝑤))⟩)))))
3 iftrue 4351 . . . 4 (𝑤 = ∅ → if(𝑤 = ∅, ∅, ((𝑤 substr ⟨(𝑛 mod (♯‘𝑤)), (♯‘𝑤)⟩) ++ (𝑤 substr ⟨0, (𝑛 mod (♯‘𝑤))⟩))) = ∅)
43ad2antrl 716 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑤 = ∅ ∧ 𝑛 = 𝑁)) → if(𝑤 = ∅, ∅, ((𝑤 substr ⟨(𝑛 mod (♯‘𝑤)), (♯‘𝑤)⟩) ++ (𝑤 substr ⟨0, (𝑛 mod (♯‘𝑤))⟩))) = ∅)
5 0nn0 11723 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
6 f0 6387 . . . . . . 7 ∅:∅⟶V
7 ffn 6342 . . . . . . . 8 (∅:∅⟶V → ∅ Fn ∅)
8 fzo0 12875 . . . . . . . . . 10 (0..^0) = ∅
98eqcomi 2782 . . . . . . . . 9 ∅ = (0..^0)
109fneq2i 6282 . . . . . . . 8 (∅ Fn ∅ ↔ ∅ Fn (0..^0))
117, 10sylib 210 . . . . . . 7 (∅:∅⟶V → ∅ Fn (0..^0))
126, 11ax-mp 5 . . . . . 6 ∅ Fn (0..^0)
13 id 22 . . . . . . 7 (0 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
14 oveq2 6983 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 0 → (0..^𝑙) = (0..^0))
1514fneq2d 6278 . . . . . . . 8 (𝑙 = 0 → (∅ Fn (0..^𝑙) ↔ ∅ Fn (0..^0)))
1615adantl 474 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℕ0𝑙 = 0) → (∅ Fn (0..^𝑙) ↔ ∅ Fn (0..^0)))
1713, 16rspcedv 3534 . . . . . 6 (0 ∈ ℕ0 → (∅ Fn (0..^0) → ∃𝑙 ∈ ℕ0 ∅ Fn (0..^𝑙)))
185, 12, 17mp2 9 . . . . 5 𝑙 ∈ ℕ0 ∅ Fn (0..^𝑙)
19 0ex 5065 . . . . . 6 ∅ ∈ V
20 fneq1 6275 . . . . . . 7 (𝑓 = ∅ → (𝑓 Fn (0..^𝑙) ↔ ∅ Fn (0..^𝑙)))
2120rexbidv 3237 . . . . . 6 (𝑓 = ∅ → (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙) ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 ∅ Fn (0..^𝑙)))
2219, 21elab 3577 . . . . 5 (∅ ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)} ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 ∅ Fn (0..^𝑙))
2318, 22mpbir 223 . . . 4 ∅ ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)}
2423a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ∅ ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)})
25 id 22 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
2619a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ∅ ∈ V)
272, 4, 24, 25, 26ovmpod 7117 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (∅ cyclShiftOLD 𝑁) = ∅)
28 cshnzOLD 14014 . 2 𝑁 ∈ ℤ → (∅ cyclShiftOLD 𝑁) = ∅)
2927, 28pm2.61i 177 1 (∅ cyclShiftOLD 𝑁) = ∅
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 198   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  {cab 2753  ∃wrex 3084  Vcvv 3410  ∅c0 4173  ifcif 4345  ⟨cop 4442   Fn wfn 6181  ⟶wf 6182  ‘cfv 6186  (class class class)co 6975   ∈ cmpo 6977  0cc0 10334  ℕ0cn0 11706  ℤcz 11792  ..^cfzo 12848   mod cmo 13051  ♯chash 13504   ++ cconcat 13732   substr csubstr 13802   cyclShiftOLD ccshOLD 14007 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-nn 11439  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-fz 12708  df-fzo 12849  df-cshOLD 14009 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator