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Theorem 2clwwlk2clwwlkOLD 27697
Description: Obsolete proof of 2clwwlk2clwwlk 27696 as of 12-Oct-2022. (Contributed by AV, 28-Apr-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
2clwwlk.c 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
Assertion
Ref Expression
2clwwlk2clwwlkOLD ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝑊   𝐶,𝑎,𝑏   𝐺,𝑎,𝑏   𝑁,𝑎,𝑏,𝑤   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑉(𝑤)   𝑊(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem 2clwwlk2clwwlkOLD
StepHypRef Expression
1 uzuzle23 11969 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
2 2clwwlk.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
322clwwlkel 27695 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
41, 3sylan2 587 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
5 simpr 478 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘3))
65anim1i 609 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
7 3anass 1117 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
86, 7sylibr 226 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
9 clwwnonrepclwwnonOLD 27691 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
108, 9syl 17 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
115adantr 473 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘3))
12 simprl 788 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
13 simprr 790 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
14 isclwwlknon 27420 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
15 simpr 478 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊‘0) = 𝑋)
1615eqcomd 2803 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑊‘0))
1714, 16sylbi 209 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → 𝑋 = (𝑊‘0))
1817ad2antrl 720 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑋 = (𝑊‘0))
1913, 18eqtrd 2831 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))
20 2clwwlk2clwwlklem 27692 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))
2111, 12, 19, 20syl3anc 1491 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))
22 eqid 2797 . . . . . . . . . . . . . 14 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2322clwwlknbp 27334 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
24 opeq2 4592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 = (♯‘𝑊) → ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩ = ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)
2524oveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 = (♯‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩))
2625oveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 = (♯‘𝑊) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)))
2726eqcoms 2805 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)))
2827ad2antlr 719 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)))
29 simpl 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
30 fz1ssfz0 12686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
31 ige3m2fz 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁))
3230, 31sseldi 3794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
3332adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
3433adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁))
35 oveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (0...(♯‘𝑊)) = (0...𝑁))
3635eleq2d 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((𝑁 − 2) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁)))
3736ad2antlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑁 − 2) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 − 2) ∈ (0...𝑁)))
3834, 37mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑁 − 2) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
39 wrdcctswrdOLD 13755 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 2) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)) = 𝑊)
4029, 38, 39syl2an2r 676 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), (♯‘𝑊)⟩)) = 𝑊)
4128, 40eqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊)
4223, 41sylan 576 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊)
4342ex 402 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊))
4443adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊))
4514, 44sylbi 209 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊))
4645adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊))
4746impcom 397 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)) = 𝑊)
4847eqcomd 2803 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑊 = ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)))
4910, 21, 483jca 1159 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∧ 𝑊 = ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩))))
5049ex 402 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∧ 𝑊 = ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)))))
514, 50sylbid 232 . . 3 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∧ 𝑊 = ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩)))))
52 rspceov 6922 . . 3 (((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ∧ 𝑊 = ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩))) → ∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏))
5351, 52syl6 35 . 2 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏)))
54 eluzelcn 11938 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
55 2cnd 11387 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ ℂ)
5654, 55npcand 10686 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
5756adantl 474 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
5857oveq2d 6892 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)((𝑁 − 2) + 2)) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
5958eleq2d 2862 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)((𝑁 − 2) + 2)) ↔ (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)))
6059biimpd 221 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)((𝑁 − 2) + 2)) → (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)))
61 clwwlknonccat 27427 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) → (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)((𝑁 − 2) + 2)))
6260, 61impel 502 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
63 isclwwlknon 27420 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) ↔ (𝑏 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑏‘0) = 𝑋))
64 clwwlkn2 27345 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑏‘0), (𝑏‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
65 isclwwlknon 27420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ (𝑎 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋))
6622clwwlknbp 27334 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) → (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)))
67 simpl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → 𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
68 simprr 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
69 2nn 11382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℕ
70 lbfzo0 12759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
7169, 70mpbir 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ∈ (0..^2)
72 oveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝑏) = 2 → (0..^(♯‘𝑏)) = (0..^2))
7371, 72syl5eleqr 2883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝑏) = 2 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏)))
7473ad2antrl 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏)))
7567, 68, 743jca 1159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏))))
7675adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) → (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏))))
7776adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏))))
78 ccatval3 13595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑏))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(0 + (♯‘𝑎))) = (𝑏‘0))
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(0 + (♯‘𝑎))) = (𝑏‘0))
80 simpr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))
8180oveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (0 + (♯‘𝑎)) = (0 + (𝑁 − 2)))
8281adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) → (0 + (♯‘𝑎)) = (0 + (𝑁 − 2)))
8354, 55subcld 10682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℂ)
8483addid2d 10525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (0 + (𝑁 − 2)) = (𝑁 − 2))
8584adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (0 + (𝑁 − 2)) = (𝑁 − 2))
8682, 85sylan9eq 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (0 + (♯‘𝑎)) = (𝑁 − 2))
8786eqcomd 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑁 − 2) = (0 + (♯‘𝑎)))
8887fveq2d 6413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = ((𝑎 ++ 𝑏)‘(0 + (♯‘𝑎))))
89 simpl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (𝑏‘0) = 𝑋)
9089eqcomd 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → 𝑋 = (𝑏‘0))
9190ad2antlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑋 = (𝑏‘0))
9279, 88, 913eqtr4d 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) ∧ ((𝑏‘0) = 𝑋 ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2))) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
9392exp53 439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → ((♯‘𝑎) = (𝑁 − 2) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))))
9493com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑎) = (𝑁 − 2) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))))
9594imp 396 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
9666, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
9796adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
9865, 97sylbi 209 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
9998com13 88 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
100993adant3 1163 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑏) = 2 ∧ 𝑏 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑏‘0), (𝑏‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
10164, 100sylbi 209 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑏‘0) = 𝑋 → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
102101imp 396 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑏‘0) = 𝑋) → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
10363, 102sylbi 209 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
104103impcom 397 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
105104impcom 397 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
10622clwwlkel 27695 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
1071, 106sylan2 587 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
108107adantr 473 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ((𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ ((𝑎 ++ 𝑏)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
10962, 105, 108mpbir2and 705 . . . 4 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
110 eleq1 2864 . . . 4 (𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑎 ++ 𝑏) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
111109, 110syl5ibrcom 239 . . 3 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))) → (𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
112111rexlimdvva 3217 . 2 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
11353, 112impbid 204 1 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑊 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))∃𝑏 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)𝑊 = (𝑎 ++ 𝑏)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wrex 3088  {crab 3091  {cpr 4368  cop 4372  cfv 6099  (class class class)co 6876  cmpt2 6878  0cc0 10222  1c1 10223   + caddc 10225  cmin 10554  cn 11310  2c2 11364  3c3 11365  cuz 11926  ...cfz 12576  ..^cfzo 12716  chash 13366  Word cword 13530   ++ cconcat 13586   substr csubstr 13661  Vtxcvtx 26223  Edgcedg 26274   ClWWalksN cclwwlkn 27318  ClWWalksNOncclwwlknon 27415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-oadd 7801  df-er 7980  df-map 8095  df-pm 8096  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-card 9049  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-n0 11577  df-xnn0 11649  df-z 11663  df-uz 11927  df-rp 12071  df-fz 12577  df-fzo 12717  df-hash 13367  df-word 13531  df-lsw 13579  df-concat 13587  df-s1 13612  df-substr 13662  df-s2 13930  df-wwlks 27073  df-wwlksn 27074  df-clwwlk 27267  df-clwwlkn 27320  df-clwwlknon 27416
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