Theorem ccats1swrdeqOLD 13809

Description: Obsolete proof of ccats1pfxeq 13808 as of 12-Oct-2022. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Oct-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ccats1swrdeqOLD	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))

Proof of Theorem ccats1swrdeqOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6917	. . . 4 ⊢ (𝑊 = (𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) → (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) = ((𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
2	1	adantl 475	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) ∧ 𝑊 = (𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩)) → (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) = ((𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
3		oveq1 6917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1) → ((♯‘𝑈) − 1) = (((♯‘𝑊) + 1) − 1))
4	3	3ad2ant3 1169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → ((♯‘𝑈) − 1) = (((♯‘𝑊) + 1) − 1))
5		lencl 13600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
6		nn0cn 11636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
7		pncan1 10785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℂ → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (♯‘𝑊))
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (♯‘𝑊))
9	8	3ad2ant1 1167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (♯‘𝑊))
10	4, 9	eqtr2d 2862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (♯‘𝑊) = ((♯‘𝑈) − 1))
11	10	opeq2d 4632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → ⟨0, (♯‘𝑊)⟩ = ⟨0, ((♯‘𝑈) − 1)⟩)
12	11	oveq2d 6926	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨0, ((♯‘𝑈) − 1)⟩))
13	12	oveq1d 6925	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → ((𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) = ((𝑈 substr ⟨0, ((♯‘𝑈) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
14		simp2 1171	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
15		nn0p1gt0 11656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 0 < ((♯‘𝑊) + 1))
16	5, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 0 < ((♯‘𝑊) + 1))
17	16	3ad2ant1 1167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 0 < ((♯‘𝑊) + 1))
18		breq2 4879	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1) → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 0 < ((♯‘𝑊) + 1)))
19	18	3ad2ant3 1169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 0 < ((♯‘𝑊) + 1)))
20	17, 19	mpbird 249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 0 < (♯‘𝑈))
21		hashneq0 13452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 𝑈 ≠ ∅))
22	21	3ad2ant2 1168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 𝑈 ≠ ∅))
23	20, 22	mpbid 224	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ≠ ∅)
24		swrdccatwrdOLD 13807	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ((𝑈 substr ⟨0, ((♯‘𝑈) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) = 𝑈)
25	14, 23, 24	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → ((𝑈 substr ⟨0, ((♯‘𝑈) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) = 𝑈)
26	13, 25	eqtrd 2861	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → ((𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) = 𝑈)
27	26	adantr 474	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) ∧ 𝑊 = (𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩)) → ((𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩) = 𝑈)
28	2, 27	eqtr2d 2862	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) ∧ 𝑊 = (𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
29	28	ex 403	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∅c0 4146  ⟨cop 4405   class class class wbr 4875  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  ℂcc 10257  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   < clt 10398   − cmin 10592  ℕ₀cn0 11625  ♯chash 13417  Word cword 13581  lastSclsw 13629   ++ cconcat 13637  ⟨“cs1 13662   substr csubstr 13707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-n0 11626  df-xnn0 11698  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-hash 13418  df-word 13582  df-lsw 13630  df-concat 13638  df-s1 13663  df-substr 13708

This theorem is referenced by:  ccats1swrdeqrexOLD  13823  ccats1swrdeqbiOLD  13854