Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccats1swrdeqrexOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccats1swrdeqrexOLD 13823
 Description: Obsolete proof of ccats1pfxeqrex 13810 as of 12-Oct-2022. (Contributed by AV, 5-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 24-Oct-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ccats1swrdeqrexOLD ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) → ∃𝑠𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩)))
Distinct variable groups:   𝑈,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠

Proof of Theorem ccats1swrdeqrexOLD
StepHypRef Expression
1 simp2 1171 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
2 lencl 13600 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3 nn0p1gt0 11656 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → 0 < ((♯‘𝑊) + 1))
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 0 < ((♯‘𝑊) + 1))
543ad2ant1 1167 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 0 < ((♯‘𝑊) + 1))
6 breq2 4879 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1) → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 0 < ((♯‘𝑊) + 1)))
763ad2ant3 1169 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 0 < ((♯‘𝑊) + 1)))
85, 7mpbird 249 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 0 < (♯‘𝑈))
9 hashneq0 13452 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 𝑈 ≠ ∅))
1093ad2ant2 1168 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 𝑈 ≠ ∅))
118, 10mpbid 224 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ≠ ∅)
121, 11jca 507 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉𝑈 ≠ ∅))
1312adantr 474 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) ∧ 𝑊 = (𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉𝑈 ≠ ∅))
14 lswcl 13635 . . . . 5 ((𝑈 ∈ Word 𝑉𝑈 ≠ ∅) → (lastS‘𝑈) ∈ 𝑉)
1513, 14syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) ∧ 𝑊 = (𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩)) → (lastS‘𝑈) ∈ 𝑉)
16 ccats1swrdeqOLD 13809 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))
1716imp 397 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) ∧ 𝑊 = (𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
1815, 17jca 507 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) ∧ 𝑊 = (𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩)) → ((lastS‘𝑈) ∈ 𝑉𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))
19 s1eq 13667 . . . . 5 (𝑠 = (lastS‘𝑈) → ⟨“𝑠”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)
2019oveq2d 6926 . . . 4 (𝑠 = (lastS‘𝑈) → (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
2120rspceeqv 3544 . . 3 (((lastS‘𝑈) ∈ 𝑉𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)) → ∃𝑠𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩))
2218, 21syl 17 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) ∧ 𝑊 = (𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩)) → ∃𝑠𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩))
2322ex 403 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) → ∃𝑠𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∃wrex 3118  ∅c0 4146  ⟨cop 4405   class class class wbr 4875  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   < clt 10398  ℕ0cn0 11625  ♯chash 13417  Word cword 13581  lastSclsw 13629   ++ cconcat 13637  ⟨“cs1 13662   substr csubstr 13707 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-n0 11626  df-xnn0 11698  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-hash 13418  df-word 13582  df-lsw 13630  df-concat 13638  df-s1 13663  df-substr 13708 This theorem is referenced by:  reuccats1lemOLD  13824
 Copyright terms: Public domain W3C validator