MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cda0en Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cda0en 9203
Description: Cardinal addition with cardinal zero (the empty set). Part (a1) of proof of Theorem 6J of [Enderton] p. 143. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cda0en (𝐴𝑉 → (𝐴 +𝑐 ∅) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem cda0en
StepHypRef Expression
1 0ex 4924 . . 3 ∅ ∈ V
2 in0 4112 . . 3 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
3 cdaun 9196 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∅ ∈ V ∧ (𝐴 ∩ ∅) = ∅) → (𝐴 +𝑐 ∅) ≈ (𝐴 ∪ ∅))
41, 2, 3mp3an23 1564 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 +𝑐 ∅) ≈ (𝐴 ∪ ∅))
5 un0 4111 . 2 (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
64, 5syl6breq 4827 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 +𝑐 ∅) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  cun 3721  cin 3722  c0 4063   class class class wbr 4786  (class class class)co 6792  cen 8106   +𝑐 ccda 9191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-ord 5867  df-on 5868  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1o 7713  df-en 8110  df-cda 9192
This theorem is referenced by:  cdalepw  9220
  Copyright terms: Public domain W3C validator