Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cda1en Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cda1en 9252
 Description: Cardinal addition with cardinal one (which is the same as ordinal one). Used in proof of Theorem 6J of [Enderton] p. 143. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cda1en ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴𝐴) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem cda1en
StepHypRef Expression
1 enrefg 8194 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴𝐴)
21adantr 472 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴𝐴) → 𝐴𝐴)
3 ensn1g 8227 . . . . 5 (𝐴𝑉 → {𝐴} ≈ 1𝑜)
43ensymd 8213 . . . 4 (𝐴𝑉 → 1𝑜 ≈ {𝐴})
54adantr 472 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴𝐴) → 1𝑜 ≈ {𝐴})
6 simpr 477 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴𝐴) → ¬ 𝐴𝐴)
7 disjsn 4404 . . . 4 ((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴𝐴)
86, 7sylibr 225 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴𝐴) → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)
9 cdaenun 9251 . . 3 ((𝐴𝐴 ∧ 1𝑜 ≈ {𝐴} ∧ (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
102, 5, 8, 9syl3anc 1490 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴𝐴) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
11 df-suc 5916 . 2 suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
1210, 11syl6breqr 4853 1 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴𝐴) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ suc 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1652   ∈ wcel 2155   ∪ cun 3732   ∩ cin 3733  ∅c0 4081  {csn 4336   class class class wbr 4811  suc csuc 5912  (class class class)co 6844  1𝑜c1o 7759   ≈ cen 8159   +𝑐 ccda 9244 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149 This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-ord 5913  df-on 5914  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-1o 7766  df-er 7949  df-en 8163  df-cda 9245 This theorem is referenced by:  pm110.643ALT  9255  pwsdompw  9281
 Copyright terms: Public domain W3C validator