MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdadom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdadom2 9211
Description: Ordering law for cardinal addition. Theorem 6L(a) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cdadom2 (𝐴𝐵 → (𝐶 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐶 +𝑐 𝐵))

Proof of Theorem cdadom2
StepHypRef Expression
1 cdadom1 9210 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴 +𝑐 𝐶) ≼ (𝐵 +𝑐 𝐶))
2 cdacomen 9205 . . 3 (𝐴 +𝑐 𝐶) ≈ (𝐶 +𝑐 𝐴)
3 cdacomen 9205 . . 3 (𝐵 +𝑐 𝐶) ≈ (𝐶 +𝑐 𝐵)
4 domen1 8258 . . . 4 ((𝐴 +𝑐 𝐶) ≈ (𝐶 +𝑐 𝐴) → ((𝐴 +𝑐 𝐶) ≼ (𝐵 +𝑐 𝐶) ↔ (𝐶 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐵 +𝑐 𝐶)))
5 domen2 8259 . . . 4 ((𝐵 +𝑐 𝐶) ≈ (𝐶 +𝑐 𝐵) → ((𝐶 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐵 +𝑐 𝐶) ↔ (𝐶 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐶 +𝑐 𝐵)))
64, 5sylan9bb 499 . . 3 (((𝐴 +𝑐 𝐶) ≈ (𝐶 +𝑐 𝐴) ∧ (𝐵 +𝑐 𝐶) ≈ (𝐶 +𝑐 𝐵)) → ((𝐴 +𝑐 𝐶) ≼ (𝐵 +𝑐 𝐶) ↔ (𝐶 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐶 +𝑐 𝐵)))
72, 3, 6mp2an 672 . 2 ((𝐴 +𝑐 𝐶) ≼ (𝐵 +𝑐 𝐶) ↔ (𝐶 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐶 +𝑐 𝐵))
81, 7sylib 208 1 (𝐴𝐵 → (𝐶 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐶 +𝑐 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   class class class wbr 4786  (class class class)co 6792  cen 8106  cdom 8107   +𝑐 ccda 9191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5867  df-on 5868  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-1o 7713  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-cda 9192
This theorem is referenced by:  cdalepw  9220  unctb  9229  infcdaabs  9230  infcda  9232  infdif  9233  fin45  9416  canthp1  9678  pwcdandom  9691  gchcdaidm  9692  gchpwdom  9694  gchhar  9703
  Copyright terms: Public domain W3C validator