MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdaenun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdaenun 9284
Description: Cardinal addition is equinumerous to union for disjoint sets. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cdaenun ((𝐴𝐵𝐶𝐷 ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐶) ≈ (𝐵𝐷))

Proof of Theorem cdaenun
StepHypRef Expression
1 cdaen 9283 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 +𝑐 𝐶) ≈ (𝐵 +𝑐 𝐷))
213adant3 1163 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐷 ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐶) ≈ (𝐵 +𝑐 𝐷))
3 relen 8200 . . . 4 Rel ≈
43brrelex2i 5364 . . 3 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
53brrelex2i 5364 . . 3 (𝐶𝐷𝐷 ∈ V)
6 id 22 . . 3 ((𝐵𝐷) = ∅ → (𝐵𝐷) = ∅)
7 cdaun 9282 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐵 +𝑐 𝐷) ≈ (𝐵𝐷))
84, 5, 6, 7syl3an 1200 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐷 ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐵 +𝑐 𝐷) ≈ (𝐵𝐷))
9 entr 8247 . 2 (((𝐴 +𝑐 𝐶) ≈ (𝐵 +𝑐 𝐷) ∧ (𝐵 +𝑐 𝐷) ≈ (𝐵𝐷)) → (𝐴 +𝑐 𝐶) ≈ (𝐵𝐷))
102, 8, 9syl2anc 580 1 ((𝐴𝐵𝐶𝐷 ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐶) ≈ (𝐵𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3385  cun 3767  cin 3768  c0 4115   class class class wbr 4843  (class class class)co 6878  cen 8192   +𝑐 ccda 9277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-ord 5944  df-on 5945  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-1o 7799  df-er 7982  df-en 8196  df-cda 9278
This theorem is referenced by:  cda1en  9285  cdacomen  9291  cdaassen  9292  xpcdaen  9293  onacda  9307  pwxpndom2  9775
  Copyright terms: Public domain W3C validator