Theorem cdafi 9326

Description: The cardinal sum of two finite sets is finite. (Contributed by NM, 22-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
cdafi	⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≺ ω)

Proof of Theorem cdafi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8228	. . . 4 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex1i 5392	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ V)
3	1	brrelex1i 5392	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ ω → 𝐵 ∈ V)
4		cdaval 9306	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1o})))
5	2, 3, 4	syl2an 591	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1o})))
6		0elon 6015	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
7		xpsneng 8313	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ On) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
8	2, 6, 7	sylancl 582	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ ω → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
9		sdomen1 8372	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 → ((𝐴 × {∅}) ≺ ω ↔ 𝐴 ≺ ω))
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ((𝐴 × {∅}) ≺ ω ↔ 𝐴 ≺ ω))
11	10	ibir 260	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ ω → (𝐴 × {∅}) ≺ ω)
12		1on 7832	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
13		xpsneng 8313	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 1o ∈ On) → (𝐵 × {1o}) ≈ 𝐵)
14	3, 12, 13	sylancl 582	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≺ ω → (𝐵 × {1o}) ≈ 𝐵)
15		sdomen1 8372	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 × {1o}) ≈ 𝐵 → ((𝐵 × {1o}) ≺ ω ↔ 𝐵 ≺ ω))
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ ω → ((𝐵 × {1o}) ≺ ω ↔ 𝐵 ≺ ω))
17	16	ibir 260	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ ω → (𝐵 × {1o}) ≺ ω)
18		unfi2 8497	. . 3 ⊢ (((𝐴 × {∅}) ≺ ω ∧ (𝐵 × {1o}) ≺ ω) → ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1o})) ≺ ω)
19	11, 17, 18	syl2an 591	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1o})) ≺ ω)
20	5, 19	eqbrtrd 4894	1 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≺ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  Vcvv 3413   ∪ cun 3795  ∅c0 4143  {csn 4396   class class class wbr 4872   × cxp 5339  Oncon0 5962  (class class class)co 6904  ωcom 7325  1_oc1o 7818   ≈ cen 8218   ≺ csdm 8220   +_𝑐 ccda 9303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-oadd 7829  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-cda 9304

This theorem is referenced by:  canthp1lem2  9789