Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdanum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdanum 9309
 Description: The cardinal sum of two numerable sets is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cdanum ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ∈ dom card)

Proof of Theorem cdanum
StepHypRef Expression
1 cardon 9056 . . 3 (card‘𝐴) ∈ On
2 cardon 9056 . . 3 (card‘𝐵) ∈ On
3 oacl 7855 . . 3 (((card‘𝐴) ∈ On ∧ (card‘𝐵) ∈ On) → ((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝐵)) ∈ On)
41, 2, 3mp2an 684 . 2 ((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝐵)) ∈ On
5 cardacda 9308 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ ((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝐵)))
65ensymd 8246 . 2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵))
7 isnumi 9058 . 2 ((((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝐵)) ∈ On ∧ ((card‘𝐴) +𝑜 (card‘𝐵)) ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵)) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ∈ dom card)
84, 6, 7sylancr 582 1 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ∈ dom card)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4843  dom cdm 5312  Oncon0 5941  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878   +𝑜 coa 7796   ≈ cen 8192  cardccrd 9047   +𝑐 ccda 9277 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-card 9051  df-cda 9278 This theorem is referenced by:  unnum  9310
 Copyright terms: Public domain W3C validator