Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdaun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdaun 9329
 Description: Cardinal addition is equinumerous to union for disjoint sets. (Contributed by NM, 5-Apr-2007.)
Assertion
Ref Expression
cdaun ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ (𝐴𝐵))

Proof of Theorem cdaun
StepHypRef Expression
1 cdaval 9327 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1o})))
213adant3 1123 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1o})))
3 0ex 5026 . . . . . 6 ∅ ∈ V
4 xpsneng 8333 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
53, 4mpan2 681 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
6 1on 7850 . . . . . 6 1o ∈ On
7 xpsneng 8333 . . . . . 6 ((𝐵𝑊 ∧ 1o ∈ On) → (𝐵 × {1o}) ≈ 𝐵)
86, 7mpan2 681 . . . . 5 (𝐵𝑊 → (𝐵 × {1o}) ≈ 𝐵)
95, 8anim12i 606 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐵 × {1o}) ≈ 𝐵))
10 xp01disj 7860 . . . . 5 ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1o})) = ∅
1110jctl 519 . . . 4 ((𝐴𝐵) = ∅ → (((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1o})) = ∅ ∧ (𝐴𝐵) = ∅))
12 unen 8328 . . . 4 ((((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐵 × {1o}) ≈ 𝐵) ∧ (((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1o})) = ∅ ∧ (𝐴𝐵) = ∅)) → ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1o})) ≈ (𝐴𝐵))
139, 11, 12syl2an 589 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1o})) ≈ (𝐴𝐵))
14133impa 1097 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1o})) ≈ (𝐴𝐵))
152, 14eqbrtrd 4908 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ (𝐴𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398   ∪ cun 3790   ∩ cin 3791  ∅c0 4141  {csn 4398   class class class wbr 4886   × cxp 5353  Oncon0 5976  (class class class)co 6922  1oc1o 7836   ≈ cen 8238   +𝑐 ccda 9324 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-ord 5979  df-on 5980  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1o 7843  df-en 8242  df-cda 9325 This theorem is referenced by:  cdaenun  9331  cda0en  9336  ficardun  9359  ackbij1lem9  9385  canthp1lem1  9809
 Copyright terms: Public domain W3C validator