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Theorem clwlkclwwlkOLD 27383
Description: Obsolete version of clwlkclwwlk 27382 as of 12-Oct-2022. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
clwlkclwwlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwlkclwwlk.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwlkclwwlkOLD ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑃,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝐺

Proof of Theorem clwlkclwwlkOLD
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwlkclwwlk.e . . . . . 6 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
21uspgrf1oedg 26522 . . . . 5 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→(Edg‘𝐺))
3 f1of1 6390 . . . . 5 (𝐸:dom 𝐸1-1-onto→(Edg‘𝐺) → 𝐸:dom 𝐸1-1→(Edg‘𝐺))
42, 3syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸1-1→(Edg‘𝐺))
5 clwlkclwwlklem3 27381 . . . 4 ((𝐸:dom 𝐸1-1→(Edg‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
64, 5syl3an1 1163 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))))
7 lencl 13621 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
8 ige2m1fz 12748 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑃)))
97, 8sylan 575 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑃)))
10 swrd0lenOLD 13738 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑃))) → (♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) = ((♯‘𝑃) − 1))
119, 10syldan 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) = ((♯‘𝑃) − 1))
127nn0cnd 11704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
13 1cnd 10371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → 1 ∈ ℂ)
1412, 13subcld 10734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℂ)
1514subid1d 10723 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (((♯‘𝑃) − 1) − 0) = ((♯‘𝑃) − 1))
1615eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 0))
1716adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 0))
1811, 17eqtrd 2814 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) = (((♯‘𝑃) − 1) − 0))
1918oveq1d 6937 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1) = ((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1))
2019oveq2d 6938 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)) = (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)))
2111oveq1d 6937 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1) = (((♯‘𝑃) − 1) − 1))
2221oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)) = (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1)))
2322eleq2d 2845 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))))
24 simpll 757 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
25 wrdlenge2n0 13642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃 ≠ ∅)
2625adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑃 ≠ ∅)
27 nn0z 11752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
28 peano2zm 11772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
307, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
3130adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
32 elfzom1elfzo 12855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
3331, 32sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
34 swrdtrcfvOLD 13760 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Word 𝑉𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖) = (𝑃𝑖))
3524, 26, 33, 34syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖) = (𝑃𝑖))
367adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
37 elfzom1elp1fzo 12854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
3829, 37sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
3936, 38sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
40 swrdtrcfvOLD 13760 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Word 𝑉𝑃 ≠ ∅ ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1))) → ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
4124, 26, 39, 40syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
4235, 41preq12d 4508 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → {((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
4342eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1))) → ({((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
4443ex 403 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^(((♯‘𝑃) − 1) − 1)) → ({((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
4523, 44sylbid 232 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)) → ({((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
4645imp 397 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1))) → ({((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
4720, 46raleqbidva 3350 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
48 swrdtrcfvlOLD 13770 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (lastS‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)))
49 swrdtrcfv0OLD 13761 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0) = (𝑃‘0))
5048, 49preq12d 4508 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → {(lastS‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} = {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
5150eleq1d 2844 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ({(lastS‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸))
5247, 51anbi12d 624 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)))
5352bicomd 215 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
54533adant1 1121 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
55 swrdcl 13735 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
56553ad2ant2 1125 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
57563biant1d 1551 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
5854, 57bitrd 271 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
5958anbi2d 622 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))))
606, 59bitrd 271 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))))
61 uspgrupgr 26525 . . . . . 6 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
62 clwlkclwwlk.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6362, 1isclwlkupgr 27130 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))))))
64 3an4anass 1092 . . . . . . 7 (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
6563, 64syl6bbr 281 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
6661, 65syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ USPGraph → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
6766adantr 474 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → (𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
6867exbidv 1964 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
69683adant3 1123 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
70 eqid 2778 . . . . . 6 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
7162, 70isclwwlk 27364 . . . . 5 ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
72 simpl 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
73 nn0ge2m1nn 11711 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ)
747, 73sylan 575 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ)
75 nn0re 11652 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
7675lem1d 11311 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃))
7776a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)))
787, 77syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)))
7978imp 397 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃))
8072, 74, 793jca 1119 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)))
81803adant1 1121 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)))
82 swrdn0OLD 13747 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅)
8381, 82syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅)
8483biantrud 527 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅)))
8584bicomd 215 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅) ↔ (𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉))
86853anbi1d 1513 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
8771, 86syl5bb 275 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
88 biid 253 . . . . 5 ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
89 edgval 26397 . . . . . . . 8 (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
901eqcomi 2787 . . . . . . . . 9 (iEdg‘𝐺) = 𝐸
9190rneqi 5597 . . . . . . . 8 ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐸
9289, 91eqtri 2802 . . . . . . 7 (Edg‘𝐺) = ran 𝐸
9392eleq2i 2851 . . . . . 6 ({((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
9493ralbii 3162 . . . . 5 (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
9592eleq2i 2851 . . . . 5 ({(lastS‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(lastS‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)
9688, 94, 953anbi123i 1155 . . . 4 (((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))
9787, 96syl6bb 279 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
9897anbi2d 622 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)) − 1)){((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘𝑖), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)), ((𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))))
9960, 69, 983bitr4d 303 1 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (∃𝑓 𝑓(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃 substr ⟨0, ((♯‘𝑃) − 1)⟩) ∈ (ClWWalks‘𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wex 1823  wcel 2107  wne 2969  wral 3090  c0 4141  {cpr 4400  cop 4404   class class class wbr 4886  dom cdm 5355  ran crn 5356  wf 6131  1-1wf1 6132  1-1-ontowf1o 6134  cfv 6135  (class class class)co 6922  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275  cle 10412  cmin 10606  cn 11374  2c2 11430  0cn0 11642  cz 11728  ...cfz 12643  ..^cfzo 12784  chash 13435  Word cword 13599  lastSclsw 13652   substr csubstr 13730  Vtxcvtx 26344  iEdgciedg 26345  Edgcedg 26395  UPGraphcupgr 26428  USPGraphcuspgr 26497  ClWalkscclwlks 27122  ClWWalkscclwwlk 27361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-ifp 1047  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-hash 13436  df-word 13600  df-lsw 13653  df-substr 13731  df-edg 26396  df-uhgr 26406  df-upgr 26430  df-uspgr 26499  df-wlks 26947  df-clwlks 27123  df-clwwlk 27362
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlk2OLD  27385  clwlkclwwlkfOLD  27392
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