Theorem clwlksfclwwlk2wrdOLD 27398

Description: Obsolete as of 23-May-2022. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jun-2018.) (Revised by AV, 2-May-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwlksfclwwlkOLD.1	⊢ 𝐴 = (1st ‘𝑐)
clwlksfclwwlkOLD.2	⊢ 𝐵 = (2nd ‘𝑐)
clwlksfclwwlkOLD.c	⊢ 𝐶 = {𝑐 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝐴) = 𝑁}
clwlksfclwwlkOLD.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝐶 ↦ (𝐵 substr ⟨0, (♯‘𝐴)⟩))

Assertion

Ref	Expression
clwlksfclwwlk2wrdOLD	⊢ (𝑐 ∈ 𝐶 → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))

Distinct variable group:   𝐺,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑐)   𝐵(𝑐)   𝐶(𝑐)   𝐹(𝑐)   𝑁(𝑐)

Proof of Theorem clwlksfclwwlk2wrdOLD

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwlksfclwwlkOLD.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑐 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ (♯‘𝐴) = 𝑁}
2	1	rabeq2i 3382	. 2 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐶 ↔ (𝑐 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝐴) = 𝑁))
3		eqid 2800	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4		eqid 2800	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
5		clwlksfclwwlkOLD.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (1st ‘𝑐)
6		clwlksfclwwlkOLD.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (2nd ‘𝑐)
7	3, 4, 5, 6	clwlkcompim 27033	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ (ClWalks‘𝐺) → ((𝐴 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐵:(0...(♯‘𝐴))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))if-((𝐵‘𝑖) = (𝐵‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐴‘𝑖)) = {(𝐵‘𝑖)}, {(𝐵‘𝑖), (𝐵‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐴‘𝑖))) ∧ (𝐵‘0) = (𝐵‘(♯‘𝐴)))))
8		lencl 13552	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
9		nn0z 11689	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
10		fzval3 12791	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (0...(♯‘𝐴)) = (0..^((♯‘𝐴) + 1)))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (0...(♯‘𝐴)) = (0..^((♯‘𝐴) + 1)))
12	11	feq2d 6243	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (𝐵:(0...(♯‘𝐴))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝐵:(0..^((♯‘𝐴) + 1))⟶(Vtx‘𝐺)))
13	12	biimpa 469	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 𝐵:(0...(♯‘𝐴))⟶(Vtx‘𝐺)) → 𝐵:(0..^((♯‘𝐴) + 1))⟶(Vtx‘𝐺))
14		iswrdi 13537	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵:(0..^((♯‘𝐴) + 1))⟶(Vtx‘𝐺) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 𝐵:(0...(♯‘𝐴))⟶(Vtx‘𝐺)) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
16	8, 15	sylan 576	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐵:(0...(♯‘𝐴))⟶(Vtx‘𝐺)) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
17	16	adantr 473	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐵:(0...(♯‘𝐴))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))if-((𝐵‘𝑖) = (𝐵‘(𝑖 + 1)), ((iEdg‘𝐺)‘(𝐴‘𝑖)) = {(𝐵‘𝑖)}, {(𝐵‘𝑖), (𝐵‘(𝑖 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝐺)‘(𝐴‘𝑖))) ∧ (𝐵‘0) = (𝐵‘(♯‘𝐴)))) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
18	7, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ (ClWalks‘𝐺) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
19	18	adantr 473	. 2 ⊢ ((𝑐 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝐴) = 𝑁) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
20	2, 19	sylbi 209	1 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐶 → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385  if-wif 1086   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∀wral 3090  {crab 3094   ⊆ wss 3770  {csn 4369  {cpr 4371  ⟨cop 4375   ↦ cmpt 4923  dom cdm 5313  ⟶wf 6098  ‘cfv 6102  (class class class)co 6879  1^st c1st 7400  2^nd c2nd 7401  0cc0 10225  1c1 10226   + caddc 10228  ℕ₀cn0 11579  ℤcz 11665  ...cfz 12579  ..^cfzo 12719  ♯chash 13369  Word cword 13533   substr csubstr 13663  Vtxcvtx 26230  iEdgciedg 26231  ClWalkscclwlks 27023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-ifp 1087  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-oadd 7804  df-er 7983  df-map 8098  df-pm 8099  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-card 9052  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-n0 11580  df-z 11666  df-uz 11930  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-hash 13370  df-word 13534  df-wlks 26848  df-clwlks 27024

This theorem is referenced by:  clwlksfclwwlk2sswdOLD  27401  clwlksfclwwlkOLD  27402