Theorem clwwlknwwlknclOLD 27203

Description: Obsolete version of clwwlknwwlkncl 27202 as of 22-Mar-2022. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Sep-2018.) (Revised by AV, 26-Apr-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknwwlknclOLD	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)})

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑃

Proof of Theorem clwwlknwwlknclOLD

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 471	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		eqid 2771	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3	2	clwwlknbp 27183	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁))
4	3	adantr 466	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁))
5		eqid 2771	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
6	2, 5	clwwlknp 27185	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
7		3simpc 1146	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
9	8	adantr 466	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
10	1, 4, 9	3jca 1122	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
11	10	ancoms 446	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
12		eqid 2771	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)} = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)}
13	12	clwwlkel 27195	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)})
14	11, 13	syl 17	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → (𝑃 ++ ⟨“(𝑃‘0)”⟩) ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  {crab 3065  {cpr 4318  ‘cfv 6029  (class class class)co 6791  0cc0 10136  1c1 10137   + caddc 10139   − cmin 10466  ℕcn 11220  ..^cfzo 12666  ♯chash 13314  Word cword 13480  lastSclsw 13481   ++ cconcat 13482  ⟨“cs1 13483  Vtxcvtx 26088  Edgcedg 26153   WWalksN cwwlksn 26947   ClWWalksN cclwwlkn 27167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-card 8963  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-n0 11493  df-xnn0 11564  df-z 11578  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-hash 13315  df-word 13488  df-lsw 13489  df-concat 13490  df-s1 13491  df-wwlks 26951  df-wwlksn 26952  df-clwwlk 27125  df-clwwlkn 27169

This theorem is referenced by: (None)