Theorem clwwlknwwlksnOLD 27382

Description: Obsolete version of clwwlknwwlksn 27381 as of 22-Mar-2022. (Contributed by AV, 24-Jan-2022.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknwwlksnOLD	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑊 ∈ (𝑁ClWWalksNOLD𝐺)) → 𝑊 ∈ ((𝑁 − 1) WWalksN 𝐺))

Proof of Theorem clwwlknwwlksnOLD

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isclwwlknOLD 27369	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (𝑁ClWWalksNOLD𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
2		eqid 2825	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2825	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	isclwwlk 27313	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
5	4	anbi1i 619	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ↔ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
6	1, 5	syl6bb 279	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (𝑁ClWWalksNOLD𝐺) ↔ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
7		idd 24	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
8		idd 24	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9		nncn 11359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
10		npcan1 10779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
12	11	eqcomd 2831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
13	12	eqeq2d 2835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) = 𝑁 ↔ (♯‘𝑊) = ((𝑁 − 1) + 1)))
14	13	biimpd 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (♯‘𝑊) = ((𝑁 − 1) + 1)))
15	7, 8, 14	3anim123d 1573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 − 1) + 1))))
16	15	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 − 1) + 1))))
17	16	3exp 1154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 − 1) + 1))))))
18	17	a1dd 50	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 − 1) + 1)))))))
19	18	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 − 1) + 1)))))))
20	19	3imp1 1462	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 − 1) + 1))))
21	20	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 − 1) + 1))))
22	6, 21	sylbid 232	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (𝑁ClWWalksNOLD𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 − 1) + 1))))
23	22	imp 397	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑊 ∈ (𝑁ClWWalksNOLD𝐺)) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 − 1) + 1)))
24		nnm1nn0 11661	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
25	2, 3	iswwlksnx 27139	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 − 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 − 1) + 1))))
26	24, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ ((𝑁 − 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 − 1) + 1))))
27	26	adantr 474	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑊 ∈ (𝑁ClWWalksNOLD𝐺)) → (𝑊 ∈ ((𝑁 − 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 − 1) + 1))))
28	23, 27	mpbird 249	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑊 ∈ (𝑁ClWWalksNOLD𝐺)) → 𝑊 ∈ ((𝑁 − 1) WWalksN 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2999  ∀wral 3117  ∅c0 4144  {cpr 4399  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℂcc 10250  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255   − cmin 10585  ℕcn 11350  ℕ₀cn0 11618  ..^cfzo 12760  ♯chash 13410  Word cword 13574  lastSclsw 13622  Vtxcvtx 26294  Edgcedg 26345   WWalksN cwwlksn 27125  ClWWalkscclwwlk 27310  ClWWalksNOLDcclwwlknold 27363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-hash 13411  df-word 13575  df-wwlks 27129  df-wwlksn 27130  df-clwwlk 27311  df-clwwlknOLD 27365

This theorem is referenced by: (None)