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Theorem clwwnonrepclwwnonOLD 27728
 Description: Obsolete version of clwwnonrepclwwnon 27727 as of 12-Oct-2022. (Contributed by AV, 24-Apr-2022.) (Revised by AV, 10-May-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
clwwnonrepclwwnonOLD ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))

Proof of Theorem clwwnonrepclwwnonOLD
StepHypRef Expression
1 simp1 1172 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → 𝑁 ∈ (ℤ‘3))
2 isclwwlknon 27462 . . . . 5 (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
32simplbi 493 . . . 4 (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
433ad2ant2 1170 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
5 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊‘0) = 𝑋)
65eqcomd 2830 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑊‘0))
72, 6sylbi 209 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → 𝑋 = (𝑊‘0))
87eqeq2d 2834 . . . . 5 (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → ((𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 ↔ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)))
98biimpa 470 . . . 4 ((𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))
1093adant1 1166 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))
11 clwwnrepclwwnOLD 27726 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺))
121, 4, 10, 11syl3anc 1496 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺))
13 2clwwlklemOLD 27724 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = (𝑊‘0))
143, 13sylan 577 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = (𝑊‘0))
1514ancoms 452 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = (𝑊‘0))
16153adant3 1168 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = (𝑊‘0))
172simprbi 492 . . . 4 (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → (𝑊‘0) = 𝑋)
18173ad2ant2 1170 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑊‘0) = 𝑋)
1916, 18eqtrd 2860 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋)
20 isclwwlknon 27462 . 2 ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)‘0) = 𝑋))
2112, 19, 20sylanbrc 580 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ⟨cop 4402  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904  0cc0 10251   − cmin 10584  2c2 11405  3c3 11406  ℤ≥cuz 11967   substr csubstr 13699   ClWWalksN cclwwlkn 27361  ClWWalksNOncclwwlknon 27457 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-pm 8124  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-card 9077  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-n0 11618  df-xnn0 11690  df-z 11704  df-uz 11968  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-hash 13410  df-word 13574  df-lsw 13622  df-substr 13700  df-wwlks 27128  df-wwlksn 27129  df-clwwlk 27310  df-clwwlkn 27363  df-clwwlknon 27458 This theorem is referenced by:  2clwwlk2clwwlkOLD  27734
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