Theorem decsplit0bOLD 15995

Description: Obsolete version of decsplit0b 15991 as of 9-Sep-2021. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
decsplit0OLD.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
decsplit0bOLD	⊢ ((𝐴 · (10↑0)) + 𝐵) = (𝐴 + 𝐵)

Proof of Theorem decsplit0bOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0OLD 11524	. . . . 5 ⊢ 10 ∈ ℕ0
2	1	numexp0 15987	. . . 4 ⊢ (10↑0) = 1
3	2	oveq2i 6807	. . 3 ⊢ (𝐴 · (10↑0)) = (𝐴 · 1)
4		decsplit0OLD.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
5	4	nn0cni 11511	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
6	5	mulid1i 10248	. . 3 ⊢ (𝐴 · 1) = 𝐴
7	3, 6	eqtri 2793	. 2 ⊢ (𝐴 · (10↑0)) = 𝐴
8	7	oveq1i 6806	1 ⊢ ((𝐴 · (10↑0)) + 𝐵) = (𝐴 + 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  (class class class)co 6796  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147  10c10 11284  ℕ₀cn0 11499  ↑cexp 13067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-10OLD 11293  df-n0 11500  df-z 11585  df-seq 13009  df-exp 13068

This theorem is referenced by:  decsplit0OLD  15996