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Theorem dfac2OLD 9156
Description: Obsolete proof of dfac2 9155 as of 16-Jun-2022. Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49 implies of our Axiom of Choice (in the form of ac3 9487). The proof does not make use of AC. Note that the Axiom of Regularity is used by the proof. Specifically, elirrv 8658 and preleqOLD 8679 that are referenced in the proof each make use of Regularity for their derivations. (The reverse implication can be derived without using Regularity; see dfac2a 9153.) (Contributed by NM, 5-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dfac2OLD (CHOICE ↔ ∀𝑥𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤𝑧𝑣𝑦 (𝑧𝑣𝑤𝑣)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑧,𝑦,𝑤,𝑣

Proof of Theorem dfac2OLD
Dummy variables 𝑓 𝑢 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfac3 9145 . . 3 (CHOICE ↔ ∀𝑥𝑓𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
2 nfra1 3090 . . . . . . 7 𝑧𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)
3 rsp 3078 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → (𝑧𝑥 → (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
4 equid 2097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧 = 𝑧
5 neeq1 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 ≠ ∅ ↔ 𝑧 ≠ ∅))
6 eqeq1 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 = 𝑧𝑧 = 𝑧))
75, 6anbi12d 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑢 = 𝑧) ↔ (𝑧 ≠ ∅ ∧ 𝑧 = 𝑧)))
87rspcev 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧𝑥 ∧ (𝑧 ≠ ∅ ∧ 𝑧 = 𝑧)) → ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑢 = 𝑧))
94, 8mpanr2 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧𝑥𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑢 = 𝑧))
10 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑢 = 𝑧 → (𝑓𝑢) = (𝑓𝑧))
1110preq1d 4411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢 = 𝑧 → {(𝑓𝑢), 𝑢} = {(𝑓𝑧), 𝑢})
12 preq2 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢 = 𝑧 → {(𝑓𝑧), 𝑢} = {(𝑓𝑧), 𝑧})
1311, 12eqtr2d 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 = 𝑧 → {(𝑓𝑧), 𝑧} = {(𝑓𝑢), 𝑢})
1413anim2i 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑢 = 𝑧) → (𝑢 ≠ ∅ ∧ {(𝑓𝑧), 𝑧} = {(𝑓𝑢), 𝑢}))
1514reximi 3159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑢 = 𝑧) → ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ {(𝑓𝑧), 𝑧} = {(𝑓𝑢), 𝑢}))
169, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧𝑥𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ {(𝑓𝑧), 𝑧} = {(𝑓𝑢), 𝑢}))
17 prex 5038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {(𝑓𝑧), 𝑧} ∈ V
18 eqeq1 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑔 = {(𝑓𝑧), 𝑧} → (𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢} ↔ {(𝑓𝑧), 𝑧} = {(𝑓𝑢), 𝑢}))
1918anbi2d 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑔 = {(𝑓𝑧), 𝑧} → ((𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢}) ↔ (𝑢 ≠ ∅ ∧ {(𝑓𝑧), 𝑧} = {(𝑓𝑢), 𝑢})))
2019rexbidv 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 = {(𝑓𝑧), 𝑧} → (∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢}) ↔ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ {(𝑓𝑧), 𝑧} = {(𝑓𝑢), 𝑢})))
2117, 20elab 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({(𝑓𝑧), 𝑧} ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} ↔ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ {(𝑓𝑧), 𝑧} = {(𝑓𝑢), 𝑢}))
2216, 21sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧𝑥𝑧 ≠ ∅) → {(𝑓𝑧), 𝑧} ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})})
23 vex 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑧 ∈ V
2423prid2 4435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧 ∈ {(𝑓𝑧), 𝑧}
25 fvex 6343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓𝑧) ∈ V
2625prid1 4434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓𝑧) ∈ {(𝑓𝑧), 𝑧}
2724, 26pm3.2i 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ {(𝑓𝑧), 𝑧} ∧ (𝑓𝑧) ∈ {(𝑓𝑧), 𝑧})
28 eleq2 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = {(𝑓𝑧), 𝑧} → (𝑧𝑣𝑧 ∈ {(𝑓𝑧), 𝑧}))
29 eleq2 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = {(𝑓𝑧), 𝑧} → ((𝑓𝑧) ∈ 𝑣 ↔ (𝑓𝑧) ∈ {(𝑓𝑧), 𝑧}))
3028, 29anbi12d 610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = {(𝑓𝑧), 𝑧} → ((𝑧𝑣 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑣) ↔ (𝑧 ∈ {(𝑓𝑧), 𝑧} ∧ (𝑓𝑧) ∈ {(𝑓𝑧), 𝑧})))
3130rspcev 3461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (({(𝑓𝑧), 𝑧} ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} ∧ (𝑧 ∈ {(𝑓𝑧), 𝑧} ∧ (𝑓𝑧) ∈ {(𝑓𝑧), 𝑧})) → ∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑣))
3222, 27, 31sylancl 568 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧𝑥𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑣))
33 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = (𝑓𝑧) → (𝑤𝑧 ↔ (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
34 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = (𝑓𝑧) → (𝑤𝑣 ↔ (𝑓𝑧) ∈ 𝑣))
3534anbi2d 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = (𝑓𝑧) → ((𝑧𝑣𝑤𝑣) ↔ (𝑧𝑣 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑣)))
3635rexbidv 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = (𝑓𝑧) → (∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣) ↔ ∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑣)))
3733, 36anbi12d 610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = (𝑓𝑧) → ((𝑤𝑧 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣)) ↔ ((𝑓𝑧) ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑣))))
3825, 37spcev 3452 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓𝑧) ∈ 𝑧 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑣)) → ∃𝑤(𝑤𝑧 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣)))
3932, 38sylan2 574 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓𝑧) ∈ 𝑧 ∧ (𝑧𝑥𝑧 ≠ ∅)) → ∃𝑤(𝑤𝑧 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣)))
4039ex 397 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓𝑧) ∈ 𝑧 → ((𝑧𝑥𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤(𝑤𝑧 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣))))
413, 40syl8 76 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → (𝑧𝑥 → (𝑧 ≠ ∅ → ((𝑧𝑥𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤(𝑤𝑧 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣))))))
4241impd 396 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → ((𝑧𝑥𝑧 ≠ ∅) → ((𝑧𝑥𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤(𝑤𝑧 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣)))))
4342pm2.43d 53 . . . . . . . . . 10 (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → ((𝑧𝑥𝑧 ≠ ∅) → ∃𝑤(𝑤𝑧 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣))))
44 df-rex 3067 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣) ↔ ∃𝑣(𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} ∧ (𝑧𝑣𝑤𝑣)))
45 vex 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑣 ∈ V
46 eqeq1 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑔 = 𝑣 → (𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢} ↔ 𝑣 = {(𝑓𝑢), 𝑢}))
4746anbi2d 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔 = 𝑣 → ((𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢}) ↔ (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑣 = {(𝑓𝑢), 𝑢})))
4847rexbidv 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑔 = 𝑣 → (∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢}) ↔ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑣 = {(𝑓𝑢), 𝑢})))
4945, 48elab 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} ↔ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑣 = {(𝑓𝑢), 𝑢}))
50 neeq1 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 = 𝑢 → (𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑢 ≠ ∅))
51 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 = 𝑢 → (𝑓𝑧) = (𝑓𝑢))
5251eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 = 𝑢 → ((𝑓𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝑓𝑢) ∈ 𝑧))
53 eleq2 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 = 𝑢 → ((𝑓𝑢) ∈ 𝑧 ↔ (𝑓𝑢) ∈ 𝑢))
5452, 53bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 = 𝑢 → ((𝑓𝑧) ∈ 𝑧 ↔ (𝑓𝑢) ∈ 𝑢))
5550, 54imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑢 → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ (𝑢 ≠ ∅ → (𝑓𝑢) ∈ 𝑢)))
5655rspccv 3458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → (𝑢𝑥 → (𝑢 ≠ ∅ → (𝑓𝑢) ∈ 𝑢)))
57 elirrv 8658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ¬ 𝑤𝑤
58 eleq2 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤𝑤𝑤𝑧))
5957, 58mtbii 315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑤 = 𝑧 → ¬ 𝑤𝑧)
6059con2i 136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑤𝑧 → ¬ 𝑤 = 𝑧)
61 vex 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 𝑤 ∈ V
62 fvex 6343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑓𝑢) ∈ V
63 vex 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 𝑢 ∈ V
6461, 23, 62, 63prel12OLD 4515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 𝑤 = 𝑧 → ({𝑤, 𝑧} = {(𝑓𝑢), 𝑢} ↔ (𝑤 ∈ {(𝑓𝑢), 𝑢} ∧ 𝑧 ∈ {(𝑓𝑢), 𝑢})))
65 ancom 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑤𝑣𝑧𝑣) ↔ (𝑧𝑣𝑤𝑣))
66 eleq2 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑣 = {(𝑓𝑢), 𝑢} → (𝑤𝑣𝑤 ∈ {(𝑓𝑢), 𝑢}))
67 eleq2 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑣 = {(𝑓𝑢), 𝑢} → (𝑧𝑣𝑧 ∈ {(𝑓𝑢), 𝑢}))
6866, 67anbi12d 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑣 = {(𝑓𝑢), 𝑢} → ((𝑤𝑣𝑧𝑣) ↔ (𝑤 ∈ {(𝑓𝑢), 𝑢} ∧ 𝑧 ∈ {(𝑓𝑢), 𝑢})))
6965, 68syl5rbbr 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑣 = {(𝑓𝑢), 𝑢} → ((𝑤 ∈ {(𝑓𝑢), 𝑢} ∧ 𝑧 ∈ {(𝑓𝑢), 𝑢}) ↔ (𝑧𝑣𝑤𝑣)))
7064, 69sylan9bbr 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑣 = {(𝑓𝑢), 𝑢} ∧ ¬ 𝑤 = 𝑧) → ({𝑤, 𝑧} = {(𝑓𝑢), 𝑢} ↔ (𝑧𝑣𝑤𝑣)))
7160, 70sylan2 574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑣 = {(𝑓𝑢), 𝑢} ∧ 𝑤𝑧) → ({𝑤, 𝑧} = {(𝑓𝑢), 𝑢} ↔ (𝑧𝑣𝑤𝑣)))
7271adantrr 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑣 = {(𝑓𝑢), 𝑢} ∧ (𝑤𝑧 ∧ (𝑓𝑢) ∈ 𝑢)) → ({𝑤, 𝑧} = {(𝑓𝑢), 𝑢} ↔ (𝑧𝑣𝑤𝑣)))
7372pm5.32da 562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑣 = {(𝑓𝑢), 𝑢} → (((𝑤𝑧 ∧ (𝑓𝑢) ∈ 𝑢) ∧ {𝑤, 𝑧} = {(𝑓𝑢), 𝑢}) ↔ ((𝑤𝑧 ∧ (𝑓𝑢) ∈ 𝑢) ∧ (𝑧𝑣𝑤𝑣))))
7461, 23, 62, 63preleqOLD 8679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑤𝑧 ∧ (𝑓𝑢) ∈ 𝑢) ∧ {𝑤, 𝑧} = {(𝑓𝑢), 𝑢}) → (𝑤 = (𝑓𝑢) ∧ 𝑧 = 𝑢))
7573, 74syl6bir 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑣 = {(𝑓𝑢), 𝑢} → (((𝑤𝑧 ∧ (𝑓𝑢) ∈ 𝑢) ∧ (𝑧𝑣𝑤𝑣)) → (𝑤 = (𝑓𝑢) ∧ 𝑧 = 𝑢)))
7651eqeq2d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 = 𝑢 → (𝑤 = (𝑓𝑧) ↔ 𝑤 = (𝑓𝑢)))
7776biimparc 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑤 = (𝑓𝑢) ∧ 𝑧 = 𝑢) → 𝑤 = (𝑓𝑧))
7875, 77syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑣 = {(𝑓𝑢), 𝑢} → (((𝑤𝑧 ∧ (𝑓𝑢) ∈ 𝑢) ∧ (𝑧𝑣𝑤𝑣)) → 𝑤 = (𝑓𝑧)))
7978exp4c 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑣 = {(𝑓𝑢), 𝑢} → (𝑤𝑧 → ((𝑓𝑢) ∈ 𝑢 → ((𝑧𝑣𝑤𝑣) → 𝑤 = (𝑓𝑧)))))
8079com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓𝑢) ∈ 𝑢 → (𝑤𝑧 → (𝑣 = {(𝑓𝑢), 𝑢} → ((𝑧𝑣𝑤𝑣) → 𝑤 = (𝑓𝑧)))))
8156, 80syl8 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → (𝑢𝑥 → (𝑢 ≠ ∅ → (𝑤𝑧 → (𝑣 = {(𝑓𝑢), 𝑢} → ((𝑧𝑣𝑤𝑣) → 𝑤 = (𝑓𝑧)))))))
8281com4r 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤𝑧 → (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → (𝑢𝑥 → (𝑢 ≠ ∅ → (𝑣 = {(𝑓𝑢), 𝑢} → ((𝑧𝑣𝑤𝑣) → 𝑤 = (𝑓𝑧)))))))
8382imp 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑤𝑧 ∧ ∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)) → (𝑢𝑥 → (𝑢 ≠ ∅ → (𝑣 = {(𝑓𝑢), 𝑢} → ((𝑧𝑣𝑤𝑣) → 𝑤 = (𝑓𝑧))))))
8483imp4a 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑤𝑧 ∧ ∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)) → (𝑢𝑥 → ((𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑣 = {(𝑓𝑢), 𝑢}) → ((𝑧𝑣𝑤𝑣) → 𝑤 = (𝑓𝑧)))))
8584com3l 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢𝑥 → ((𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑣 = {(𝑓𝑢), 𝑢}) → ((𝑤𝑧 ∧ ∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)) → ((𝑧𝑣𝑤𝑣) → 𝑤 = (𝑓𝑧)))))
8685rexlimiv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑣 = {(𝑓𝑢), 𝑢}) → ((𝑤𝑧 ∧ ∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)) → ((𝑧𝑣𝑤𝑣) → 𝑤 = (𝑓𝑧))))
8749, 86sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} → ((𝑤𝑧 ∧ ∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)) → ((𝑧𝑣𝑤𝑣) → 𝑤 = (𝑓𝑧))))
8887expd 400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} → (𝑤𝑧 → (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → ((𝑧𝑣𝑤𝑣) → 𝑤 = (𝑓𝑧)))))
8988com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → (𝑤𝑧 → (𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} → ((𝑧𝑣𝑤𝑣) → 𝑤 = (𝑓𝑧)))))
9089imp4b 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ∧ 𝑤𝑧) → ((𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} ∧ (𝑧𝑣𝑤𝑣)) → 𝑤 = (𝑓𝑧)))
9190exlimdv 2013 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ∧ 𝑤𝑧) → (∃𝑣(𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} ∧ (𝑧𝑣𝑤𝑣)) → 𝑤 = (𝑓𝑧)))
9244, 91syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ∧ 𝑤𝑧) → (∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣) → 𝑤 = (𝑓𝑧)))
9392expimpd 441 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → ((𝑤𝑧 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣)) → 𝑤 = (𝑓𝑧)))
9493alrimiv 2007 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → ∀𝑤((𝑤𝑧 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣)) → 𝑤 = (𝑓𝑧)))
95 mo2icl 3538 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑤((𝑤𝑧 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣)) → 𝑤 = (𝑓𝑧)) → ∃*𝑤(𝑤𝑧 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣)))
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . 10 (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → ∃*𝑤(𝑤𝑧 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣)))
9743, 96jctird 512 . . . . . . . . 9 (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → ((𝑧𝑥𝑧 ≠ ∅) → (∃𝑤(𝑤𝑧 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣)) ∧ ∃*𝑤(𝑤𝑧 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣)))))
98 df-reu 3068 . . . . . . . . . 10 (∃!𝑤𝑧𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣) ↔ ∃!𝑤(𝑤𝑧 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣)))
99 eu5 2644 . . . . . . . . . 10 (∃!𝑤(𝑤𝑧 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣)) ↔ (∃𝑤(𝑤𝑧 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣)) ∧ ∃*𝑤(𝑤𝑧 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣))))
10098, 99bitri 264 . . . . . . . . 9 (∃!𝑤𝑧𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣) ↔ (∃𝑤(𝑤𝑧 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣)) ∧ ∃*𝑤(𝑤𝑧 ∧ ∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣))))
10197, 100syl6ibr 242 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → ((𝑧𝑥𝑧 ≠ ∅) → ∃!𝑤𝑧𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣)))
102101expd 400 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → (𝑧𝑥 → (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤𝑧𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣))))
1032, 102ralrimi 3106 . . . . . 6 (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → ∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤𝑧𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣)))
104 vex 3354 . . . . . . . . . . . 12 𝑓 ∈ V
105104rnex 7248 . . . . . . . . . . 11 ran 𝑓 ∈ V
106 p0ex 4985 . . . . . . . . . . 11 {∅} ∈ V
107105, 106unex 7104 . . . . . . . . . 10 (ran 𝑓 ∪ {∅}) ∈ V
108 vex 3354 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
109107, 108unex 7104 . . . . . . . . 9 ((ran 𝑓 ∪ {∅}) ∪ 𝑥) ∈ V
110109pwex 4982 . . . . . . . 8 𝒫 ((ran 𝑓 ∪ {∅}) ∪ 𝑥) ∈ V
111 ssun1 3928 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ran 𝑓 ∪ {∅}) ⊆ ((ran 𝑓 ∪ {∅}) ∪ 𝑥)
112 fvrn0 6358 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓𝑢) ∈ (ran 𝑓 ∪ {∅})
113111, 112sselii 3750 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓𝑢) ∈ ((ran 𝑓 ∪ {∅}) ∪ 𝑥)
114 elun2 3933 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢𝑥𝑢 ∈ ((ran 𝑓 ∪ {∅}) ∪ 𝑥))
115 prssi 4488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓𝑢) ∈ ((ran 𝑓 ∪ {∅}) ∪ 𝑥) ∧ 𝑢 ∈ ((ran 𝑓 ∪ {∅}) ∪ 𝑥)) → {(𝑓𝑢), 𝑢} ⊆ ((ran 𝑓 ∪ {∅}) ∪ 𝑥))
116113, 114, 115sylancr 569 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢𝑥 → {(𝑓𝑢), 𝑢} ⊆ ((ran 𝑓 ∪ {∅}) ∪ 𝑥))
117 prex 5038 . . . . . . . . . . . . . 14 {(𝑓𝑢), 𝑢} ∈ V
118117elpw 4304 . . . . . . . . . . . . 13 ({(𝑓𝑢), 𝑢} ∈ 𝒫 ((ran 𝑓 ∪ {∅}) ∪ 𝑥) ↔ {(𝑓𝑢), 𝑢} ⊆ ((ran 𝑓 ∪ {∅}) ∪ 𝑥))
119116, 118sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢𝑥 → {(𝑓𝑢), 𝑢} ∈ 𝒫 ((ran 𝑓 ∪ {∅}) ∪ 𝑥))
120 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢} → (𝑔 ∈ 𝒫 ((ran 𝑓 ∪ {∅}) ∪ 𝑥) ↔ {(𝑓𝑢), 𝑢} ∈ 𝒫 ((ran 𝑓 ∪ {∅}) ∪ 𝑥)))
121119, 120syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . 11 (𝑢𝑥 → (𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢} → 𝑔 ∈ 𝒫 ((ran 𝑓 ∪ {∅}) ∪ 𝑥)))
122121adantld 474 . . . . . . . . . 10 (𝑢𝑥 → ((𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢}) → 𝑔 ∈ 𝒫 ((ran 𝑓 ∪ {∅}) ∪ 𝑥)))
123122rexlimiv 3175 . . . . . . . . 9 (∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢}) → 𝑔 ∈ 𝒫 ((ran 𝑓 ∪ {∅}) ∪ 𝑥))
124123abssi 3827 . . . . . . . 8 {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} ⊆ 𝒫 ((ran 𝑓 ∪ {∅}) ∪ 𝑥)
125110, 124ssexi 4938 . . . . . . 7 {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} ∈ V
126 rexeq 3288 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} → (∃𝑣𝑦 (𝑧𝑣𝑤𝑣) ↔ ∃𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣)))
127126reubidv 3275 . . . . . . . . 9 (𝑦 = {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} → (∃!𝑤𝑧𝑣𝑦 (𝑧𝑣𝑤𝑣) ↔ ∃!𝑤𝑧𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣)))
128127imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑦 = {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} → ((𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤𝑧𝑣𝑦 (𝑧𝑣𝑤𝑣)) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤𝑧𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣))))
129128ralbidv 3135 . . . . . . 7 (𝑦 = {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} → (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤𝑧𝑣𝑦 (𝑧𝑣𝑤𝑣)) ↔ ∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤𝑧𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣))))
130125, 129spcev 3452 . . . . . 6 (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤𝑧𝑣 ∈ {𝑔 ∣ ∃𝑢𝑥 (𝑢 ≠ ∅ ∧ 𝑔 = {(𝑓𝑢), 𝑢})} (𝑧𝑣𝑤𝑣)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤𝑧𝑣𝑦 (𝑧𝑣𝑤𝑣)))
131103, 130syl 17 . . . . 5 (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤𝑧𝑣𝑦 (𝑧𝑣𝑤𝑣)))
132131exlimiv 2010 . . . 4 (∃𝑓𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤𝑧𝑣𝑦 (𝑧𝑣𝑤𝑣)))
133132alimi 1887 . . 3 (∀𝑥𝑓𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) → ∀𝑥𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤𝑧𝑣𝑦 (𝑧𝑣𝑤𝑣)))
1341, 133sylbi 207 . 2 (CHOICE → ∀𝑥𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤𝑧𝑣𝑦 (𝑧𝑣𝑤𝑣)))
135 dfac2a 9153 . 2 (∀𝑥𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤𝑧𝑣𝑦 (𝑧𝑣𝑤𝑣)) → CHOICE)
136134, 135impbii 199 1 (CHOICE ↔ ∀𝑥𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤𝑧𝑣𝑦 (𝑧𝑣𝑤𝑣)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wal 1629   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  ∃!weu 2618  ∃*wmo 2619  {cab 2757  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  ∃!wreu 3063  cun 3722  wss 3724  c0 4064  𝒫 cpw 4298  {csn 4317  {cpr 4319  ran crn 5251  cfv 6032  CHOICEwac 9139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-reg 8654
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-eprel 5163  df-fr 5209  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ac 9140
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