Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgsresOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgsresOLD 18465
 Description: Obsolete proof of efgsres 18464 as of 12-Oct-2022. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgsresOLD ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem efgsresOLD
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . . 9 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
2 efgval.r . . . . . . . . 9 = ( ~FG𝐼)
3 efgval2.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
5 efgred.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
6 efgred.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 18456 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
87simp1bi 1176 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom 𝑆𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
98adantr 473 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
109eldifad 3781 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
11 fz1ssfz0 12690 . . . . . 6 (1...(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
12 simpr 478 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹)))
1311, 12sseldi 3796 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
14 swrd0valOLD 13671 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word 𝑊𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
1510, 13, 14syl2anc 580 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
16 swrdcl 13669 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word 𝑊 → (𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑊)
1710, 16syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑊)
1815, 17eqeltrrd 2879 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑊)
19 swrd0lenOLD 13672 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word 𝑊𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
2010, 13, 19syl2anc 580 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
21 elfznn 12624 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2221adantl 474 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ ℕ)
2320, 22eqeltrd 2878 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩)) ∈ ℕ)
24 wrdfin 13552 . . . . . 6 ((𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑊 → (𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Fin)
25 hashnncl 13407 . . . . . 6 ((𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Fin → ((♯‘(𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩)) ∈ ℕ ↔ (𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅))
2617, 24, 253syl 18 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ((♯‘(𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩)) ∈ ℕ ↔ (𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅))
2723, 26mpbid 224 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅)
2815, 27eqnetrrd 3039 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ≠ ∅)
29 eldifsn 4506 . . 3 ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑊 ∧ (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ≠ ∅))
3018, 28, 29sylanbrc 579 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
31 lbfzo0 12763 . . . . 5 (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
3222, 31sylibr 226 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → 0 ∈ (0..^𝑁))
33 fvres 6430 . . . 4 (0 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) = (𝐹‘0))
3432, 33syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) = (𝐹‘0))
357simp2bi 1177 . . . 4 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) ∈ 𝐷)
3635adantr 473 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹‘0) ∈ 𝐷)
3734, 36eqeltrd 2878 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) ∈ 𝐷)
38 elfzuz3 12593 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁))
3938adantl 474 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁))
40 fzoss2 12751 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁) → (1..^𝑁) ⊆ (1..^(♯‘𝐹)))
4139, 40syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (1..^𝑁) ⊆ (1..^(♯‘𝐹)))
427simp3bi 1178 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
4342adantr 473 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
44 ssralv 3862 . . . . 5 ((1..^𝑁) ⊆ (1..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
4541, 43, 44sylc 65 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
46 fzo0ss1 12753 . . . . . . . 8 (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)
4746sseli 3794 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
48 fvres 6430 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) = (𝐹𝑖))
4947, 48syl 17 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) = (𝐹𝑖))
50 elfzoel2 12724 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
51 peano2zm 11710 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
53 uzid 11945 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
5450, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
5550zcnd 11773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
56 ax-1cn 10282 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
57 npcan 10582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5855, 56, 57sylancl 581 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5958fveq2d 6415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℤ𝑁))
6054, 59eleqtrrd 2881 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
61 peano2uzr 11987 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
6252, 60, 61syl2anc 580 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
63 fzoss2 12751 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
65 elfzoelz 12725 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑖 ∈ ℤ)
66 elfzom1b 12822 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑖 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
6765, 50, 66syl2anc 580 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑖 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑖 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
6867ibi 259 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑖 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
6964, 68sseldd 3799 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑖 − 1) ∈ (0..^𝑁))
70 fvres 6430 . . . . . . . . 9 ((𝑖 − 1) ∈ (0..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(𝑖 − 1)))
7169, 70syl 17 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(𝑖 − 1)))
7271fveq2d 6415 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
7372rneqd 5556 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
7449, 73eleq12d 2872 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
7574ralbiia 3160 . . . 4 (∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
7645, 75sylibr 226 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))))
7715fveq2d 6415 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = (♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))
7877, 20eqtr3d 2835 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) = 𝑁)
7978oveq2d 6894 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))) = (1..^𝑁))
8079raleqdv 3327 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)))))
8176, 80mpbird 249 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))))
821, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 18456 . 2 ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆 ↔ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)))))
8330, 37, 81, 82syl3anbrc 1444 1 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971  ∀wral 3089  {crab 3093   ∖ cdif 3766   ⊆ wss 3769  ∅c0 4115  {csn 4368  ⟨cop 4374  ⟨cotp 4376  ∪ ciun 4710   ↦ cmpt 4922   I cid 5219   × cxp 5310  dom cdm 5312  ran crn 5313   ↾ cres 5314  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878   ↦ cmpt2 6880  1𝑜c1o 7792  2𝑜c2o 7793  Fincfn 8195  ℂcc 10222  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227   − cmin 10556  ℕcn 11312  ℤcz 11666  ℤ≥cuz 11930  ...cfz 12580  ..^cfzo 12720  ♯chash 13370  Word cword 13534   substr csubstr 13664   splice csplice 13819  ⟨“cs2 13926   ~FG cefg 18432 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-hash 13371  df-word 13535  df-substr 13665 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator