Theorem fco3 40984

Description: Functionality of a composition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fco3.1	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
fco3.2	⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fco3	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):(◡𝐺 “ dom 𝐹)⟶ran 𝐹)

Proof of Theorem fco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fco3.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
2		fco3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
3		funco 6257	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → Fun (𝐹 ∘ 𝐺))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∘ 𝐺))
5		fdmrn 6398	. . . 4 ⊢ (Fun (𝐹 ∘ 𝐺) ↔ (𝐹 ∘ 𝐺):dom (𝐹 ∘ 𝐺)⟶ran (𝐹 ∘ 𝐺))
6	4, 5	sylib 219	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):dom (𝐹 ∘ 𝐺)⟶ran (𝐹 ∘ 𝐺))
7		dmco 5974	. . . 4 ⊢ dom (𝐹 ∘ 𝐺) = (◡𝐺 “ dom 𝐹)
8	7	feq2i 6366	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺):dom (𝐹 ∘ 𝐺)⟶ran (𝐹 ∘ 𝐺) ↔ (𝐹 ∘ 𝐺):(◡𝐺 “ dom 𝐹)⟶ran (𝐹 ∘ 𝐺))
9	6, 8	sylib 219	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):(◡𝐺 “ dom 𝐹)⟶ran (𝐹 ∘ 𝐺))
10		rncoss 5716	. . 3 ⊢ ran (𝐹 ∘ 𝐺) ⊆ ran 𝐹
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ∘ 𝐺) ⊆ ran 𝐹)
12	9, 11	fssd 6388	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):(◡𝐺 “ dom 𝐹)⟶ran 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3854  ^◡ccnv 5434  dom cdm 5435  ran crn 5436   “ cima 5438   ∘ ccom 5439  Fun wfun 6211  ⟶wf 6213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pr 5214

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ral 3108  df-rex 3109  df-rab 3112  df-v 3434  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-nul 4207  df-if 4376  df-sn 4467  df-pr 4469  df-op 4473  df-br 4957  df-opab 5019  df-id 5340  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221

This theorem is referenced by:  smfco  42573