Theorem gchcda1 9766

Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal successor. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchcda1	⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem gchcda1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 7959	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → 1𝑜 ∈ ω)
3		cdadom3 9298	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 1𝑜 ∈ ω) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
4	2, 3	sylan2 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
5		simpr 478	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
6		nnfi 8395	. . . . . . . . 9 ⊢ (1𝑜 ∈ ω → 1𝑜 ∈ Fin)
7	1, 6	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → 1𝑜 ∈ Fin)
8		fidomtri2 9106	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 1𝑜 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 1𝑜 ↔ ¬ 1𝑜 ≺ 𝐴))
9	7, 8	sylan2 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 1𝑜 ↔ ¬ 1𝑜 ≺ 𝐴))
10	1, 6	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1𝑜 ∈ Fin)
11		domfi 8423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1𝑜 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 1𝑜) → 𝐴 ∈ Fin)
12	11	ex 402	. . . . . . . 8 ⊢ (1𝑜 ∈ Fin → (𝐴 ≼ 1𝑜 → 𝐴 ∈ Fin))
13	10, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 1𝑜 → 𝐴 ∈ Fin))
14	9, 13	sylbird 252	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (¬ 1𝑜 ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin))
15	5, 14	mt3d 143	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1𝑜 ≺ 𝐴)
16		canthp1 9764	. . . . 5 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≺ 𝒫 𝐴)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≺ 𝒫 𝐴)
18	4, 17	jca 508	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ∧ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≺ 𝒫 𝐴))
19		gchen1 9735	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ∧ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
20	18, 19	mpdan 679	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
21	20	ensymd 8246	1 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   ∈ wcel 2157  𝒫 cpw 4349   class class class wbr 4843  (class class class)co 6878  ωcom 7299  1_𝑜c1o 7792   ≈ cen 8192   ≼ cdom 8193   ≺ csdm 8194  Fincfn 8195   +_𝑐 ccda 9277  GCHcgch 9730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-oi 8657  df-card 9051  df-cda 9278  df-gch 9731

This theorem is referenced by:  gchinf  9767  gchcdaidm  9778  gchpwdom  9780