MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptnn0fzOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptnn0fzOLD 18652
Description: Obsolete version of gsummptnn0fz 18651 as of 3-Jul-2022 . (Contributed by AV, 10-Oct-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptnn0fzOLD.k 𝑘𝜑
gsummptnn0fzOLD.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptnn0fzOLD.0 0 = (0g𝐺)
gsummptnn0fzOLD.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptnn0fzOLD.f (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
gsummptnn0fzOLD.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
gsummptnn0fzOLD.u (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ))
Assertion
Ref Expression
gsummptnn0fzOLD (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑆,𝑘   0 ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem gsummptnn0fzOLD
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummptnn0fzOLD.u . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ))
2 nfv 2009 . . . . 5 𝑥(𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 )
3 nfv 2009 . . . . . 6 𝑘 𝑆 < 𝑥
4 nfcsb1v 3709 . . . . . . 7 𝑘𝑥 / 𝑘𝐶
54nfeq1 2921 . . . . . 6 𝑘𝑥 / 𝑘𝐶 = 0
63, 5nfim 1995 . . . . 5 𝑘(𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )
7 breq2 4815 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑥 → (𝑆 < 𝑘𝑆 < 𝑥))
8 csbeq1a 3702 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑥𝐶 = 𝑥 / 𝑘𝐶)
98eqeq1d 2767 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑥 → (𝐶 = 0𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
107, 9imbi12d 335 . . . . 5 (𝑘 = 𝑥 → ((𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )))
112, 6, 10cbvral 3315 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
121, 11sylib 209 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
13 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
14 gsummptnn0fzOLD.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
1514anim2i 610 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℕ0𝜑) → (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵))
1615ancoms 450 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵))
17 rspcsbela 4170 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵) → 𝑥 / 𝑘𝐶𝐵)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 / 𝑘𝐶𝐵)
1913, 18jca 507 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶𝐵))
2019adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶𝐵))
21 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) = (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)
2221fvmpts 6476 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶𝐵) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐶)
2320, 22syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐶)
24 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → 𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )
2523, 24eqtrd 2799 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 )
2625ex 401 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 ))
2726imim2d 57 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → (𝑆 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 )))
2827ralimdva 3109 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 )))
2912, 28mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 ))
30 gsummptnn0fzOLD.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
31 gsummptnn0fzOLD.0 . . 3 0 = (0g𝐺)
32 gsummptnn0fzOLD.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
3321fmpt 6572 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵 ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝐶):ℕ0𝐵)
3414, 33sylib 209 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶):ℕ0𝐵)
35 fvex 6390 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) ∈ V
3630, 35eqeltri 2840 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
37 nn0ex 11547 . . . . . 6 0 ∈ V
3836, 37pm3.2i 462 . . . . 5 (𝐵 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V)
39 elmapg 8075 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∈ (𝐵𝑚0) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝐶):ℕ0𝐵))
4038, 39mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∈ (𝐵𝑚0) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝐶):ℕ0𝐵))
4134, 40mpbird 248 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∈ (𝐵𝑚0))
42 gsummptnn0fzOLD.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
43 fz0ssnn0 12645 . . . . 5 (0...𝑆) ⊆ ℕ0
44 resmpt 5628 . . . . 5 ((0...𝑆) ⊆ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ↾ (0...𝑆)) = (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶))
4543, 44ax-mp 5 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ↾ (0...𝑆)) = (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶)
4645eqcomi 2774 . . 3 (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶) = ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ↾ (0...𝑆))
4730, 31, 32, 41, 42, 46fsfnn0gsumfsffz 18648 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 ) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶))))
4829, 47mpd 15 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wnf 1878  wcel 2155  wral 3055  Vcvv 3350  csb 3693  wss 3734   class class class wbr 4811  cmpt 4890  cres 5281  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6844  𝑚 cmap 8062  0cc0 10191   < clt 10330  0cn0 11540  ...cfz 12536  Basecbs 16133  0gc0g 16369   Σg cgsu 16370  CMndccmn 18462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-supp 7500  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-oadd 7770  df-er 7949  df-map 8064  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-fsupp 8485  df-oi 8624  df-card 9018  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-nn 11277  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-seq 13012  df-hash 13325  df-0g 16371  df-gsum 16372  df-mgm 17511  df-sgrp 17553  df-mnd 17564  df-cntz 18016  df-cmn 18464
This theorem is referenced by:  gsummptnn0fzvOLD  18653
  Copyright terms: Public domain W3C validator