Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptnn0fzOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptnn0fzOLD 18652
 Description: Obsolete version of gsummptnn0fz 18651 as of 3-Jul-2022 . (Contributed by AV, 10-Oct-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptnn0fzOLD.k 𝑘𝜑
gsummptnn0fzOLD.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptnn0fzOLD.0 0 = (0g𝐺)
gsummptnn0fzOLD.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptnn0fzOLD.f (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
gsummptnn0fzOLD.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
gsummptnn0fzOLD.u (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ))
Assertion
Ref Expression
gsummptnn0fzOLD (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑆,𝑘   0 ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem gsummptnn0fzOLD
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummptnn0fzOLD.u . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ))
2 nfv 2009 . . . . 5 𝑥(𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 )
3 nfv 2009 . . . . . 6 𝑘 𝑆 < 𝑥
4 nfcsb1v 3709 . . . . . . 7 𝑘𝑥 / 𝑘𝐶
54nfeq1 2921 . . . . . 6 𝑘𝑥 / 𝑘𝐶 = 0
63, 5nfim 1995 . . . . 5 𝑘(𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )
7 breq2 4815 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑥 → (𝑆 < 𝑘𝑆 < 𝑥))
8 csbeq1a 3702 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑥𝐶 = 𝑥 / 𝑘𝐶)
98eqeq1d 2767 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑥 → (𝐶 = 0𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
107, 9imbi12d 335 . . . . 5 (𝑘 = 𝑥 → ((𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )))
112, 6, 10cbvral 3315 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
121, 11sylib 209 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
13 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
14 gsummptnn0fzOLD.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
1514anim2i 610 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℕ0𝜑) → (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵))
1615ancoms 450 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵))
17 rspcsbela 4170 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵) → 𝑥 / 𝑘𝐶𝐵)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 / 𝑘𝐶𝐵)
1913, 18jca 507 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶𝐵))
2019adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶𝐵))
21 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) = (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)
2221fvmpts 6476 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶𝐵) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐶)
2320, 22syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐶)
24 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → 𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )
2523, 24eqtrd 2799 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 )
2625ex 401 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 ))
2726imim2d 57 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → (𝑆 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 )))
2827ralimdva 3109 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 )))
2912, 28mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 ))
30 gsummptnn0fzOLD.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
31 gsummptnn0fzOLD.0 . . 3 0 = (0g𝐺)
32 gsummptnn0fzOLD.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
3321fmpt 6572 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵 ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝐶):ℕ0𝐵)
3414, 33sylib 209 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶):ℕ0𝐵)
35 fvex 6390 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) ∈ V
3630, 35eqeltri 2840 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
37 nn0ex 11547 . . . . . 6 0 ∈ V
3836, 37pm3.2i 462 . . . . 5 (𝐵 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V)
39 elmapg 8075 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∈ (𝐵𝑚0) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝐶):ℕ0𝐵))
4038, 39mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∈ (𝐵𝑚0) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝐶):ℕ0𝐵))
4134, 40mpbird 248 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∈ (𝐵𝑚0))
42 gsummptnn0fzOLD.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
43 fz0ssnn0 12645 . . . . 5 (0...𝑆) ⊆ ℕ0
44 resmpt 5628 . . . . 5 ((0...𝑆) ⊆ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ↾ (0...𝑆)) = (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶))
4543, 44ax-mp 5 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ↾ (0...𝑆)) = (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶)
4645eqcomi 2774 . . 3 (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶) = ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ↾ (0...𝑆))
4730, 31, 32, 41, 42, 46fsfnn0gsumfsffz 18648 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 ) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶))))
4829, 47mpd 15 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   = wceq 1652  Ⅎwnf 1878   ∈ wcel 2155  ∀wral 3055  Vcvv 3350  ⦋csb 3693   ⊆ wss 3734   class class class wbr 4811   ↦ cmpt 4890   ↾ cres 5281  ⟶wf 6066  ‘cfv 6070  (class class class)co 6844   ↑𝑚 cmap 8062  0cc0 10191   < clt 10330  ℕ0cn0 11540  ...cfz 12536  Basecbs 16133  0gc0g 16369   Σg cgsu 16370  CMndccmn 18462 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268 This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-supp 7500  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-oadd 7770  df-er 7949  df-map 8064  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-fsupp 8485  df-oi 8624  df-card 9018  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-nn 11277  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-seq 13012  df-hash 13325  df-0g 16371  df-gsum 16372  df-mgm 17511  df-sgrp 17553  df-mnd 17564  df-cntz 18016  df-cmn 18464 This theorem is referenced by:  gsummptnn0fzvOLD  18653
 Copyright terms: Public domain W3C validator