MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashprgOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashprgOLD 13385
Description: Obsolete version of hashprg 13384 as of 18-Sep-2021. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hashprgOLD ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))

Proof of Theorem hashprgOLD
StepHypRef Expression
1 simpr 471 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
2 elsni 4333 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐵 = 𝐴)
32eqcomd 2777 . . . . . 6 (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐴 = 𝐵)
43necon3ai 2968 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
5 snfi 8194 . . . . . 6 {𝐴} ∈ Fin
6 hashunsng 13383 . . . . . . 7 (𝐵𝑉 → (({𝐴} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴}) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1)))
76imp 393 . . . . . 6 ((𝐵𝑉 ∧ ({𝐴} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1))
85, 7mpanr1 683 . . . . 5 ((𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴}) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1))
91, 4, 8syl2an 583 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1))
10 hashsng 13361 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)
1110adantr 466 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (♯‘{𝐴}) = 1)
1211adantr 466 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (♯‘{𝐴}) = 1)
1312oveq1d 6808 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → ((♯‘{𝐴}) + 1) = (1 + 1))
149, 13eqtrd 2805 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = (1 + 1))
15 df-pr 4319 . . . 4 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
1615fveq2i 6335 . . 3 (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵}))
17 df-2 11281 . . 3 2 = (1 + 1)
1814, 16, 173eqtr4g 2830 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
19 1ne2 11442 . . . . . . 7 1 ≠ 2
2019a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → 1 ≠ 2)
2111, 20eqnetrd 3010 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (♯‘{𝐴}) ≠ 2)
22 dfsn2 4329 . . . . . . . 8 {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
23 preq2 4405 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
2422, 23syl5req 2818 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
2524fveq2d 6336 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘{𝐴}))
2625neeq1d 3002 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 2 ↔ (♯‘{𝐴}) ≠ 2))
2721, 26syl5ibrcom 237 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 2))
2827necon2d 2966 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2 → 𝐴𝐵))
2928imp 393 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2) → 𝐴𝐵)
3018, 29impbida 802 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cun 3721  {csn 4316  {cpr 4318  cfv 6031  (class class class)co 6793  Fincfn 8109  1c1 10139   + caddc 10141  2c2 11272  chash 13321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-hash 13322
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator