Theorem hashwwlksnextOLD 27250

Description: Obsolete version of hashwwlksnext 27249 as of 12-Oct-2022. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
wwlksnextprop.x	⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
wwlksnextprop.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
wwlksnextprop.y	⊢ 𝑌 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}

Assertion

Ref	Expression
hashwwlksnextOLD	⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑌 ((𝑥 substr ⟨0, 𝑀⟩) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)}) = Σ𝑦 ∈ 𝑌 (♯‘{𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 substr ⟨0, 𝑀⟩) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)}))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑃   𝑦,𝐸   𝑥,𝑁,𝑦   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑥,𝑤,𝐺   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋   𝑦,𝐺   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐸(𝑥,𝑤)   𝑀(𝑥,𝑤)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)

Proof of Theorem hashwwlksnextOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlksnextprop.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}
2		wwlksnfi 27235	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin)
3		ssrab2 3914	. . . 4 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} ⊆ (𝑁 WWalksN 𝐺)
4		ssfi 8455	. . . 4 ⊢ (((𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin ∧ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} ⊆ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} ∈ Fin)
5	2, 3, 4	sylancl 580	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} ∈ Fin)
6	1, 5	syl5eqel 2910	. 2 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → 𝑌 ∈ Fin)
7		wwlksnextprop.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
8		wwlksnfi 27235	. . . . 5 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∈ Fin)
9	7, 8	syl5eqel 2910	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → 𝑋 ∈ Fin)
10		rabfi 8460	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 substr ⟨0, 𝑀⟩) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)} ∈ Fin)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 substr ⟨0, 𝑀⟩) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)} ∈ Fin)
12	11	adantr 474	. 2 ⊢ (((Vtx‘𝐺) ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 substr ⟨0, 𝑀⟩) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)} ∈ Fin)
13		wwlksnextprop.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
14	7, 13, 1	disjxwwlknOLD 27248	. . 3 ⊢ Disj 𝑦 ∈ 𝑌 {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 substr ⟨0, 𝑀⟩) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)}
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → Disj 𝑦 ∈ 𝑌 {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 substr ⟨0, 𝑀⟩) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)})
16	6, 12, 15	hashrabrex 14938	1 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑌 ((𝑥 substr ⟨0, 𝑀⟩) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)}) = Σ𝑦 ∈ 𝑌 (♯‘{𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 substr ⟨0, 𝑀⟩) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∃wrex 3118  {crab 3121   ⊆ wss 3798  {cpr 4401  ⟨cop 4405  Disj wdisj 4843  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  Fincfn 8228  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262  ♯chash 13417  lastSclsw 13629   substr csubstr 13707  Σcsu 14800  Vtxcvtx 26301  Edgcedg 26352   WWalksN cwwlksn 27132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-disj 4844  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-oi 8691  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-word 13582  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603  df-sum 14801  df-wwlks 27136  df-wwlksn 27137

This theorem is referenced by:  rusgrnumwwlksOLD  27311