MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infcdaabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infcdaabs 9310
Description: Absorption law for addition to an infinite cardinal. (Contributed by NM, 30-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infcdaabs ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infcdaabs
StepHypRef Expression
1 cdadom2 9291 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
213ad2ant3 1158 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
3 simp1 1159 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
4 xp2cda 9284 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom card → (𝐴 × 2𝑜) = (𝐴 +𝑐 𝐴))
53, 4syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) = (𝐴 +𝑐 𝐴))
62, 5breqtrrd 4868 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 × 2𝑜))
7 2onn 7954 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ ω
8 nnsdom 8795 . . . . . . 7 (2𝑜 ∈ ω → 2𝑜 ≺ ω)
9 sdomdom 8217 . . . . . . 7 (2𝑜 ≺ ω → 2𝑜 ≼ ω)
107, 8, 9mp2b 10 . . . . . 6 2𝑜 ≼ ω
11 simp2 1160 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → ω ≼ 𝐴)
12 domtr 8242 . . . . . 6 ((2𝑜 ≼ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 2𝑜𝐴)
1310, 11, 12sylancr 577 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 2𝑜𝐴)
14 xpdom2g 8292 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 2𝑜𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴))
153, 13, 14syl2anc 575 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴))
16 domtr 8242 . . . 4 (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 × 2𝑜) ∧ (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
176, 15, 16syl2anc 575 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
18 infxpidm2 9120 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
19183adant3 1155 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
20 domentr 8248 . . 3 (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝐴)
2117, 19, 20syl2anc 575 . 2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝐴)
22 reldom 8195 . . . . 5 Rel ≼
2322brrelexi 5355 . . . 4 (𝐵𝐴𝐵 ∈ V)
24233ad2ant3 1158 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
25 cdadom3 9292 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
263, 24, 25syl2anc 575 . 2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
27 sbth 8316 . 2 (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝐴𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵)) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐴)
2821, 26, 27syl2anc 575 1 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2158  Vcvv 3390   class class class wbr 4840   × cxp 5306  dom cdm 5308  (class class class)co 6871  ωcom 7292  2𝑜c2o 7787  cen 8186  cdom 8187  csdm 8188  cardccrd 9041   +𝑐 ccda 9271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-8 2160  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-rep 4960  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pow 5032  ax-pr 5093  ax-un 7176  ax-inf2 8782
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ne 2978  df-ral 3100  df-rex 3101  df-reu 3102  df-rmo 3103  df-rab 3104  df-v 3392  df-sbc 3631  df-csb 3726  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-pss 3782  df-nul 4114  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4841  df-opab 4903  df-mpt 4920  df-tr 4943  df-id 5216  df-eprel 5221  df-po 5229  df-so 5230  df-fr 5267  df-se 5268  df-we 5269  df-xp 5314  df-rel 5315  df-cnv 5316  df-co 5317  df-dm 5318  df-rn 5319  df-res 5320  df-ima 5321  df-pred 5890  df-ord 5936  df-on 5937  df-lim 5938  df-suc 5939  df-iota 6061  df-fun 6100  df-fn 6101  df-f 6102  df-f1 6103  df-fo 6104  df-f1o 6105  df-fv 6106  df-isom 6107  df-riota 6832  df-ov 6874  df-oprab 6875  df-mpt2 6876  df-om 7293  df-1st 7395  df-2nd 7396  df-wrecs 7639  df-recs 7701  df-rdg 7739  df-1o 7793  df-2o 7794  df-oadd 7797  df-er 7976  df-en 8190  df-dom 8191  df-sdom 8192  df-fin 8193  df-oi 8651  df-card 9045  df-cda 9272
This theorem is referenced by:  infunabs  9311  infcda  9312  infdif  9313
  Copyright terms: Public domain W3C validator