Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inffzOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inffzOLD 31937
Description: The infimum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) Obsolete version of inffz 31936 as of 10-Oct-2021. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
inffzOLD (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → sup((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑀)

Proof of Theorem inffzOLD
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zssre 11650 . . . . 5 ℤ ⊆ ℝ
2 ltso 10403 . . . . 5 < Or ℝ
3 soss 5250 . . . . 5 (ℤ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℤ))
41, 2, 3mp2 9 . . . 4 < Or ℤ
5 cnvso 5888 . . . 4 ( < Or ℤ ↔ < Or ℤ)
64, 5mpbi 221 . . 3 < Or ℤ
76a1i 11 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → < Or ℤ)
8 eluzel2 11909 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9 eluzfz1 12571 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
10 elfzle1 12567 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝑥)
1110adantl 469 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝑥)
128zred 11748 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
13 elfzelz 12565 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
1413zred 11748 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
15 lenlt 10401 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
1612, 14, 15syl2an 585 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
1711, 16mpbid 223 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝑥 < 𝑀)
18 brcnvg 5504 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀 < 𝑥𝑥 < 𝑀))
1918notbid 309 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (¬ 𝑀 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
208, 19sylan 571 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (¬ 𝑀 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
2117, 20mpbird 248 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝑀 < 𝑥)
227, 8, 9, 21supmax 8612 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → sup((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  wss 3769   class class class wbr 4844   Or wor 5231  ccnv 5310  cfv 6101  (class class class)co 6874  supcsup 8585  cr 10220   < clt 10359  cle 10360  cz 11643  cuz 11904  ...cfz 12549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5219  df-po 5232  df-so 5233  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-sup 8587  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-neg 10554  df-z 11644  df-uz 11905  df-fz 12550
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator