Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inffzOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inffzOLD 31953
Description: The infimum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) Obsolete version of inffz 31952 as of 10-Oct-2021. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
inffzOLD (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → sup((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑀)

Proof of Theorem inffzOLD
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zssre 11586 . . . . 5 ℤ ⊆ ℝ
2 ltso 10320 . . . . 5 < Or ℝ
3 soss 5188 . . . . 5 (ℤ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℤ))
41, 2, 3mp2 9 . . . 4 < Or ℤ
5 cnvso 5818 . . . 4 ( < Or ℤ ↔ < Or ℤ)
64, 5mpbi 220 . . 3 < Or ℤ
76a1i 11 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → < Or ℤ)
8 eluzel2 11893 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9 eluzfz1 12555 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
10 elfzle1 12551 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝑥)
1110adantl 467 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝑥)
128zred 11684 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
13 elfzelz 12549 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
1413zred 11684 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
15 lenlt 10318 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
1612, 14, 15syl2an 583 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
1711, 16mpbid 222 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝑥 < 𝑀)
18 brcnvg 5441 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀 < 𝑥𝑥 < 𝑀))
1918notbid 307 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (¬ 𝑀 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
208, 19sylan 569 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (¬ 𝑀 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
2117, 20mpbird 247 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝑀 < 𝑥)
227, 8, 9, 21supmax 8529 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → sup((𝑀...𝑁), ℤ, < ) = 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723   class class class wbr 4786   Or wor 5169  ccnv 5248  cfv 6031  (class class class)co 6793  supcsup 8502  cr 10137   < clt 10276  cle 10277  cz 11579  cuz 11888  ...cfz 12533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-neg 10471  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator